Stohastic / Stohastic / stohastic

Рассмотрим

прямоуголь-

f(x)

ник

со

сторонами

x = a ,

x = b ,

y = 0 и y = M , где

M

M − число, равное или превы-

шающее по величине макси-

мум

функции

на

интервале

(a,b) , так что 0 ≤ f (x) ≤ M

на всем интервале (см. рис.).

0

x

Будем

заполнять

этот

b

прямоугольник

случайными

a

точками

(ξ,η) , координаты

которых равномерно распределены в интервалах

a < ξ < b ,

0 < η < M .

Тогда геометрически

очевидно, что

приближенное

значение

интеграла

(заштрихованная на рисунке площадь) будет равно

площади

S0

прямоугольника,

умноженной на отношение числа точек N ′

, попавших под

кривую

y = f (x)

, к общему числу точек N . Следовательно:

b

N ′

N '

I = ∫ f (x) dx

≈ S0

= M

(b − a)

.

N

a

N

На практике это означает, что для каждой разыгранной точки

(ξi ,ηi ) ,

где

i = 1,2,

, N

, проверяется условие

ηi < f (ξi ) , и, если оно выполнено,

то в счетчик для

N ′ добавляется единица,

в противном случае − ничего не

добавляется.

После проведения

N

испытаний по приведенной формуле

вычисляется приближенное значение интеграла.

Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Например,

для

двойного

интеграла

от

функции

f (x, y)

по

области

G = {a < x < b,

c < y < d } будем иметь

I = ∫∫ f (x, y) dxdy ≈ V0

N ′

= M (b − a) (d − c)

N'

,

N

N

G

где

V0

− объем параллепипеда со сторонами (b − a)

и

(d − c) ,

и с

высотой

M , равной или превышающей по величине максимум функции в

области

G , так что во всей области

0 ≤ f (x, y) ≤ M .

В данном случае

∫∫ ∫ f (x1, x2 , , xk ) dV

≈ Vk

N '

,

G

N

где

Vk − k-мерный объем области интегрирования.

Чем больше точек, тем точнее значение интеграла, но следует помнить,

что

точность вычисления

пропорциональна

1

N ,

и

для повышения

точности в 10 раз нужно увеличить

N в 100 раз и т.д..

Другой способ вычисления интегралов с помощью метода Монте-Карло

основан на вычислении среднего значения функции.

Пусть

ξ − случайная

величина, равномерно распределенная в интервале

(a,b)

с плотностью

вероятности

1 (b − a)

,

a < x < b

.

pξ (x) =

0

, в

противном

случае

Так как любая функция

f (ξ)

от случайной величины

ξ также будет

случайной, то ее математическое ожидание равно

M{f (ξ)}= b f (x) pξ (x) dx

=

1

b f

(x) dx =

I

,

b − a

b − a

∫

∫

a

a

b

где

I = ∫ f (x) dx

. Отсюда видно, что интеграл

I

может быть вычислен

b − a

N

I = (b − a) M{f (ξ)} ≈

(b − a)

N

=

∑ f (ξi ) .

f (ξ)

N

i=1

шагом

h , которые и служат основанием прямоугольников,

аппроксимирующих при суммировании значение интеграла.

Наоборот,

основание

прямоугольников,

использующихся в данном методе,

f(x)

равно

полному

интервалу

интегрирования

(b − a) ,

а вот

высота

этих

прямоугольников

случайна

и

равна

значению

функции

f (xi )

в

случайной

точке xi

интервала (a, b) .

a x1 x2

x

Будем

"набрасывать"

на

b

область

интегрирования

такие

характер.

Проведя

N

вычислений со

случайными,

равномерно

распределенными

в интервале

(a, b)

узлами

xi

, после

усреднения

получим

b

b − a

N

∫ f (x) dx ≈

∑ f (xi ) .

a

N

i=1

Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы.

Например,

для двойного интеграла формула вычислений имеет вид

b d

(b − a)(d − c)

N

∫ ∫ f (x, y) dxdy ≈

∑ f (ξi ,ηi )

,

N

a c

i=1

где независимые случайные величины

ξ ,

η

равномерно распределены в

интервалах a < ξ < b ,

c < η < d .

Для интегралов произвольной кратности

k аналогично будем иметь

Vk

N

∫∫ ∫ f (x1, x2 ,

, xk ) dV ≈

∑ f

(x1i , x2i ,

, xki )

,

N

G

i=1

где Vk − k -мерный объем интегрирования,

а x1i , x2i ,

, xki

− случайная

π

π

∫

J p (z) =

1

cos(z sin x − p x) dx ,

0

Uses Crt;

var

p,z,S : real;

{ p - порядок функции; z - аргумент функции }

N : longint;

{ N – число испытаний }

Ch : char;

label Rd,St,Fn,Cn;

Function f(x : real) : real;

begin

f:=cos(z*sin(x)-p*x)

end;

begin

a:=0; h := Pi; S:=0; l:=1;

{ h=b-a =Pi-0 – интервал интегрирования }

repeat

S:=S+f(a+random*h); l:=l+1;

until l > N;

S:=h*S/N/Pi;

{ S - значение интеграла }

end;

begin

St : write('N= '); read(N);

{ ввод параметров }

write('p= '); read(p);

write('z= '); read(z);

MK(N,s);

{ вычисление интеграла }

writeln(' S = ', S);

{ вывод значения интеграла }

GoTo Cn;

Rd : Ch:=ReadKey;

case Ch of

#27: GoTo Fn;

{ проверка на <Esc> }

#13: GoTo St;

{ проверка на <Enter> }

Else

Cn : begin writeln('Введите <Enter> или <Esc>'); GoTo Rd; end;

end;

Fn :

{ выход из программы }

end.

J 0 (1) = 0.76 ± 0.02 . Точное значение интеграла

J 0 (1) = 0.7651977 .

U j+1 = [U j + U j−1](mod 4)

,

U 0 = π , U1 = 517 2−42

,

γ j

= U j

4 .

Здесь:

U j

− некоторые вспомогательные величины (реальные!);

γ j

− псевдослучайные

числа,

равномерно

распределенные на

интервале (0,1) ;

знак

(mod 4)

означает, что берется остаток от деления на 4 суммы

[U j

+ U j−1] .

Построить гистограмму распределения чисел γ

на интервале (0,1).

Дополнительные вопросы:

а) Построить

распределение

случайных

точек с

координатами (γ1, γ 2 ) ,

(γ1, γ 2 ) ,

(γ1, γ 2 )

и т.д.

на

плоскости x − y .

Как этот

набор точек

заполнит квадрат со стороной равной 1 ?

б) Вычислить среднее значение γ

и дисперсию σγ

величины γ

. Насколько

1

e−

( x−a)2

P(x) =

2σ2

,

2π σ

где a = n 2 , σ =

1

n 3 .

2

Какие выводы можно сделать из сравнения гистограммы и графика

функции P(x) ?

Как согласуется график и гистограмма при больших

значениях

x ?

б) Построить

на плоскости

в

координатах

(x, y) распределение точек

(η1, η2 ) , (η3 , η4 ) , (η5 , η6 )

и т.д., где ηi

( i = 1, 2,... ) − последовательно

получаемые

значения

величины η . С чем ассоциируется получаемая

пространстве (x, y)

имеет вид:

1

2 +

2

f (x, y) =

exp

−

x

y

.

2

2

2πσ

2σ

Перейдя

от

декартовых

координат

(x, y) к

полярным

(r, ϕ) с

использованием соотношений

x = r cos ϕ ,

y = r sin ϕ , получим:

1

r

2

f (r, ϕ) =

−

2

2

2πσ

exp

2σ

.

Будем интересоваться только распределением по r , тогда:

~

2π

1

r

2

f (r) = ∫ f (r,ϕ) r dϕ =

σ

2

r exp

−

2σ

2

.

0

Вспомним,

если

величина

r

имеет

распределение

плотности

~

r

~

(r′)dr′

вероятности

f (r) ,

то величина

F(r) = ∫

f

имеет равномерное

0

распределение

от

0

до

1.

Выполняя

интегрирование,

получаем:

r

~

r

2

F(r) = ∫

f (r′)dr′ =

1− exp

−

2σ

2

,

и после обратного

преобразования:

0

r(F ) = σ

− 2 ln(1− F ) .

Так

как

величины

(1− F)

и F имеют

можем заменить (1− F) на F . В итоге имеем для

r и,

соответственно,

для x, y :

r(F) = σ − 2 ln F ,

x = r cos ϕ = σ

− 2 ln F cos ϕ

,

y = r sin ϕ = σ

− 2 ln F sin ϕ

,

где величина F равномерно распределена от 0 до 1,

угол

ϕ равномерно

распределен от 0 до2π , а величины

x и y имеют распределение Гаусса с

дисперсией σ2 .

1

x

2

p(x) =

2

2π σ

exp −

2σ

.

Насколько

хорошо

график описывает гистограмму ? Наблюдается

ли

хорошее согласие графика и гистограммы при больших значениях

x

(

x

>> σ )

?

~

x

2. Вычислить среднеквадратичное отклонение σ и среднее значение

Определить с помощью метода Монте-Карло значение числа

π .

При произвольно выбранном числе N статистических испытаний для

числа π получается приближенное вычисленное значение

~

Построить

πN .

график зависимости относительной ошибки вычисления

числа

π , т.е.

~

величины [πN − π]/ π , от числа N испытаний.