Stohastic / Stohastic / stohastic

последовательность распределенных по закону Пуассона импульсов

Моделирование удобно осуществить с помощью счетчика, на вход которого

при наличии сигнала. По истечении заданного времени T накопленная в счетчике сумма сравнивается с порогом M и принимается решение "есть

69

радиация", если порог превышен, или "нет радиации" в противном случае. Нарисовать график изменения накопленной в счетчике суммы импульсов в зависимости от времени. Обозначить также на графике пороговый уровень M и граничное время измерения T .

испытаний на фоне и на сигнале с фоном, соответственно), и сравнить их с заданными значениями α и β .

Дополнительные вопросы:

а) Модифицировать критерий Неймана-Пирсона следующим образом. Если зарегистрированное в процессе измерения число импульсов превысило

экономию во времени измерения при таком алгоритме принятия решения.

Задача 20

( Последовательный обнаружитель сигналов )

При решении задач обнаружения (см. предыдущую задачу) вместо критерия Неймана-Пирсона может применяться последовательный критерий Вальда. В отличие от классического обнаружителя сигналов время измерения в нем не фиксируется, а измеряемая в процессе наблюдений определенная величина сравнивается с двумя порогами C0 и C1 . Для пуассоновских сигналов алгоритм принятия решения можно выразить следующим образом. Пока выполняются неравенства

70

− интенсивность поступающих на регистрирующее устройство импульсов (равно либо n f , либо n f + ns ), − мы не можем сделать определенных заключений при заданных вероятностях α и β и должны продолжать измерения. Если же m(t) становится меньше или равно C0 , измерения прекращают и принимают решение об отсутствии сигнала. Если же величина m(t) становится больше или равна C1 , измерения также прекращают и принимают решение о наличии сигнала. Заметим также, что при равных α и β порог C1 = −C0 .

Смоделировать методом Монте-Карло описанный в предыдущей задаче

реверсивного счетчика*), на вход сложения которого поступает пуассоновский поток импульсов nsf t , а на вход вычитания − постоянная

принимается решение о наличии дополнительной радиации на уровне 50 % от естественного фона, при достижении же нижнего порога C0 − об отсутствии такой радиации. В процессе моделирования выводить график накопленной в реверсивном счетчике суммы импульсов в зависимости от времени. Отобразить также на экране нижний и верхний пороговые уровни

C0 и C1 .

*) Реверсивный счетчик − счетчик импульсов с двумя входами: суммирования и вычитания. При поступлении импульса на вход суммирования, к содержимому счетчика добавляется единица; при поступлении же импульса на вход вычитания, из содержимого счетчика вычитается единица.

71

Определить "экспериментальные" вероятности ложной тревоги α p и

пропуска сигнала β p (проведя не менее 100 испытаний на фоне и на

сигнале с фоном, соответственно) и сравнить их с заданными значениями α и β .

Определить средние времена обнаружения на фоне и на сигнале с фоном, и сравнить их со временем классического обнаружителя. Среднее время обнаружения и на фоне, и на сигнале с фоном должно быть примерно в два раза меньше, чем в классическом случае.

Задача 21

( Фотоэлектронный умножитель )

Электроны с достаточно большой кинетической энергией, бомбардируя поверхность металлов или некоторых других материалов, способны выбивать из них другие электроны. Падающие на поверхность материала электроны называют первичными; электроны же, покидающие поверхность, называют вторичными, а сам процесс получил название вторичная электронная эмиссия. Этот эффект широко используется во многих электронных и оптоэлектронных приборах, в частности, в фотоэлектронном умножителе (ФЭУ) − приборе для регистрации слабых световых потоков.

ФК

Rн

Д1 Д2 Д3

-U

R R R R

высоковольтный делитель напряжения

72

ФЭУ представляет собой откачанный объем со стеклянным окном, на которое с внутренней стороны нанесен материал с малой работой выхода − фотокатод (ФК). При попадании фотонов на фотокатод, из последнего вылетают фотоэлектроны внутрь объема ФЭУ. Далее в объеме последовательно размещена система пластин − динодов (Д) из материала с

Между ФК и динодами приложены разности потенциалов таким образом, чтобы электроны, образовавшиеся на ФК или диноде, ускорялись к следующему диноду. Последним динодом, собирающим образовавшуюся лавину электронов, является анод (А), с которого и снимается электрический сигнал.

Процессы рождения вторичных электронов имеют вероятностный характер. Число m вылетевших вторичных электронов с динода хорошо описывается распределением Пуассона

световые импульсы, так что с фотокатода всегда вылетает только один электрон.

1. Построить гистограмму распределения числа kan электронов на аноде.

73

4. Пусть с фотокатода с равной вероятностью вылетает либо 1, либо 2 электрона. При каком значении k распределения kan от одного и от двух электронов с фотокатода будут отделяться друг от друга, т.е. мы сможем различить − один или два электрона вылетают с фотокатода ?

Задача 22

( Суперколлайдер и мультипактор )

Эффект вторичной электронной эмиссии, с большой пользой используемый во многих приборах (см. задачу "Фотоэлектронный умножитель"), иногда нежелателен, поскольку может приводить к ряду паразитных эффектов. Во многих таких случаях устранить соответствующие трудности достаточно легко: поскольку энергия вторичных электронов невелика, их можно вынудить вернуться на поверхность с помощью слабого электрического поля. Однако, в некоторых случаях полное устранение вторичной электронной эмиссии невозможно.

накопителе сгруппированы в виде коротких сгустков (банчей), распределенных по периметру ускорителя (рис. а). Поскольку при движении

74

по окружности заряженные частицы излучают так называемое синхротронное излучение, в вакуумной камере всегда существуют "блуждающие" электроны и ионы, образованные действием этого излучения на поверхность камеры.

Z

Y

Проследим поведение электрона, покинувшего нижнюю (по оси Z) поверхность вакуумной камеры, в произвольном сечении А – А. В момент прохождения сгустка частиц электрон будет ускорен полем положительных частиц (рис. b). Во временной промежуток между сгустками ускоренный электрон за короткое время достигнет противоположной стенки камеры и выбьет из нее вторичные электроны (рис. с). Последние, вообще говоря, могут иметь произвольные направления скоростей, но магнитное поле закручивает движение электронов в спираль, направленную вдоль оси Z. Обычно, радиус спирали (проекция на плоскость XY) для характерных скоростей вторичных электронов и напряженности поворотного магнитного поля ускорителя составляет сотые доли миллиметра. Поэтому движение электронов можно считать одномерным и направленным вдоль оси Z. Теперь, если к моменту прохождения следующего сгустка (рис. d), электроны не успели достигнуть поверхности камеры накопителя, то они также будут ускорены, и далее смогут выполнять роль первичных электронов.

75

Таким образом, при условии, что в среднем число вторичных электронов превышает число первичных, процесс может повторяться многократно, а количество электронов расти до бесконечности ! Это явление получило название мультипактор, означающее лавинообразное увеличение числа вторичных электронов. Нетрудно догадаться, что мультипактор приводит к значительным потерям энергии частиц в ускорителе.

Рассмотреть условия возникновения мультипактора для строящегося в настоящее время Большого Адронного Коллайдера (БАК) в Швейцарии. БАК − протонный ускоритель/накопитель, в проектировании и строительстве которого участвуют все развитые страны мира. Проектные параметры БАК впечатляют:

периметр − 27 км ; энергия протонов − 7 . 1012 эВ = 7 ТэВ ;

максимальный ток протонов − 0.7 А ; индукция магнитного поля на поворотных участках − 8.4 Т (такое поле

будет создаваться сверхпроводящими магнитами, охлаждаемыми жидким гелием до температуры 1.5° К) ;

количество протонов в сгустке − N p = 1010 1.5 1011 ( варьируется ) ;

длина сгустка − 7.5 см ; диаметр сгустка − 1 мм ;.

расстояние между сгустками − 7.5 м ; диаметр вакуумной камеры − 3.6 см ;

количество первичных свободных электронов, образующихся под

выбиваемых одним первичным) для меди сильно зависит от примесей в металле и от чистоты поверхности. Кроме того, δ зависит от энергии первичных электронов. Максимальный коэффициент δmax для меди может изменяться в пределах: 1.2 ÷ 2.2 .

76

Построить график зависимости числа электронов в камере от количества пролетевших сгустков. Считать, что до появления первого сгустка электроны отсутствуют, а добавление очередной "порции" электронов происходит синхронно с появлением очередного сгустка. Варьируя параметрами δmax и N p , определить условия возникновения мультипактора

в данном ускорителе.

Примечания:

Распределение вторичных электронов по энергии может быть описано выражением

где K = 9 109 – постоянная в законе Кулона о силе взаимодействия зарядов (в системе единиц СИ), e – элементарный электрический заряд (в "Кл"),

77

участка должна быть выбрана таким образом, чтобы с приходом очередного сгустка на выбранном участке появлялось не более 100 электронов. В противном случае процесс моделирования может занять значительное время.

Дополнительные вопросы:

а) Как изменятся условия образования мультипактора, если из пучка протонов исключить каждый пятый сгусток ?

б) Построить гистограммы распределений электронов по энергии и по координате Z до и после прохождения N -го сгустка.

в) Вторичные электроны передают энергию стенкам вакуумной камеры. Определить тепловую нагрузку на 1 метр длины камеры ускорителя вблизи порога образования мультипактора.

78