Введение.

Стохастический процесс – процесс, поведение которого не является детерминированным. Другое определение – набор случайных величин, индексирующихся каким-либо параметром, часто временем или координатой.

Понятие «случайной» величины применяется к отдельным событиям, наступление которых нельзя предсказать заранее, например, выпадение орла или решки.

С точки зрения теории вероятностей все процессы, развивающиеся во времени стохастические. Данный тип процессов в основном используется для описания явлений, в которых участвует большое число частиц. Это обычно процессы, протекающие в жидкости, например, химические превращения, которые происходят при довольно плотном контактном столкновении двух молекул реагентов в растворителе. Движение молекул реагентов и растворителя, в данном случае – стохастический процесс.

1. Основные понятия теории вероятности.

Величина X, представляющая собой результат случайного события, называется случайной величиной. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Возможное значение дискретной случайной величины заранее известно, а непрерывной – заполняет некоторый интервал.

Рассмотрим случайную величину Х - х₁, х₂, х₃,…х_n. Можно ввести понятие вероятности наступления x_i-го события:

(1)

где N- число экспериментов, – число случаев выпадения .

(2)

Набор вероятностей устанавливает закон распределения случайной величины X – заданная в той или иной форме связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть представлен в виде таблицы.

… …

Универсальной формой закона распределения (непрерывных и дискретных величин) является функция распределения вероятностей – это такая функция F(x) , значение которой в точке x равно вероятности P того, что при проведении опыта значение случайной величины X окажется меньше, чем x:

F(x) = P(X < x)

Основные свойства функции распределения вероятностей следующие:

1) числовые значения заключены в пределах 0 ≤ F(x) ≤ 1 ;

2) если, то F(x₁) ≤ F(x₂ ) , т.е. F(x) − неубывающая функция;

3) F(x) →0 при x → −∞ , F(x) →1 при x →∞ .

В случае дискретной случайной величины функция распределения представляет собой ступенчатую функцию (рис. a), а у непрерывных случайных величин функция распределения также непрерывна (рис. b ).

Пусть имеется случайная величина Х с функцией распределения Рассмотрим вероятность попадания Х на участок от .

Разделив это соотношение на получим среднюю вероятность выпадения случайной величины на единицу длины участка.

Плотность распределения случайной величины.

(4)

Свойства:

Величина - вероятность попадания на участок dx. Для произвольного участка вероятность попадания случайной величины в данный интервал, можно выразить в виде: