Оценить необходимое число N испытаний для вычисления числа π |
с |
||
относительной точностью 10-10 . |
Оценить требуемое для этого время |
||
вычисления на используемом компьютере. |
|
||
Указание: |
Для вычисления числа |
π используйте определение площади |
|
|
четверти окружности, вписанной в квадрат со стороной 1. |
|
|
|
Задача 5 |
|
|
|
|
1 |
|
Найти |
методом Монте-Карло |
значение интеграла ∫ 1− x2 dx |
и |
|
|
0 |
|
сравнить с его точным значением. Построить график зависимости относительной ошибки вычисления интеграла от числа N испытаний. Выбрать подходящий вид функции для аппроксимации полученной зависимости и методом наименьших квадратов найти параметры аппроксимирующей функции. Оценить необходимое число испытаний и требуемое время на используемом компьютере для вычисления интеграла с относительной точностью 10-6 .
Задача 6
( Всемирный закон тяготения и конечные размеры тел )
Всемирный закон тяготения Ньютона, записанный в виде классической
формулы |
F = G |
Mm |
, где F − сила притяжения между телами с массами |
|
R2 |
||||
|
|
|
||
M и |
m , R − расстояние между телами, и G − гравитационная |
|||
постоянная, − справедлив для точечных тел, т.е. для случая, когда размеры тел существенно меньше расстояния между ними. Если же притягивающиеся массы не являются точечными, то, вообще говоря, формула для силы взаимодействия масс должна быть другой. Тем не менее, когда размеры притягивающихся тел сравнимы с расстоянием между ними, можно
49
сохранить классический вид формулы, если записать ее как |
F = K G |
Mm |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R02 |
|
где |
R0 |
− расстояние между центрами масс тел, а поправочный коэффициент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(геометрический фактор) |
K |
учитывает "неточечность" |
масс. В общем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случае этот коэффициент зависит от |
R0 , от формы и размеров тел, |
и от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
распределения масс внутри тел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть имеется од- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нородный |
параллепи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
пед с общей массой M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и с |
размерами сторон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = 1 м, |
b =1 3 м, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c = 1 2 м |
(см. рису- |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|||||||||||
нок). |
Найти поправоч- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ный |
|
геометрический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
фактор |
K |
для силы |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
притяжения |
параллепи- |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
педа и точечной массы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m , |
расположенной |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оси |
z |
на расстоянии |
R0 |
≥ c 2 |
|
от центра параллепипеда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Построить график зависимости коэффициента K от расстояния |
R0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При каких значениях |
R0 |
классическую формулу закона притяжения можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
считать выполняющейся с точностью не хуже 30, 20, 10, 5, 1, 0.5 % ? |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дополнительные вопросы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) Как |
изменятся результаты, если параллепипед развернуть на 90° вокруг |
|
оси |
y , так что он станет вытянут вдоль оси |
z ? |
б) Как изменятся результаты, если масса m |
также будет представлять из |
|
себя однородный параллепипед с размерами |
a × b × c ? |
|
50
в) Насколько существенно изменятся результаты, если вместо параллепипеда рассмотреть однородный шар диаметром a ?
Пояснение: Решение задачи выражается через трехили шестимерные интегралы, значения которых предлагается находить численно методом статистических испытаний.
Задача 7
( Атом водорода )
Согласно представлениям квантовой механики, положение электрона в
атоме описывается вероятностным образом. Вероятность |
∆P |
обнаружить |
|||||||||||||||||||||||||||
электрон в малом объеме |
∆V = ∆x∆y∆z |
|
с координатами (x, y, z) равна |
||||||||||||||||||||||||||
∆P(x, y, z)= |
|
ψ(x, y, z) |
|
2 ∆V , |
где |
|
ψ(x, y, z) − волновая |
|
|
функция |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Шредингера. |
|
В |
сферических |
координатах |
|
(r, ϑ, ϕ) |
выражение |
для |
|||||||||||||||||||||
вероятности |
|
имеет |
вид |
∆P(r, ϑ, ϕ)= |
|
ψ(r,ϑ,ϕ) |
|
2 r2 sin ϑ ∆r∆ϑ∆ϕ . |
Для |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
электрона в атоме плотность вероятности |
|
|
p(r,ϑ,ϕ) = |
|
ψ(r,ϑ,ϕ) |
|
2 r2 sinϑ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
может быть записана как |
p(r,ϑ,ϕ) = |
|
R(r) |
|
2 |
|
Y (ϑ) |
|
2 ρ2 sinϑ , |
где |
|
|
ρ = r a , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a = |
!2 |
≈ 0.5 Å − так называемый боровский радиус (радиус ближайшей к |
|||||||||||||||||||||||||||
me2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ядру орбиты |
|
электрона |
в атоме водорода). |
|
Соответственно, |
плотность |
|||||||||||||||||||||||
распределения заряда электрона равна |
|
|
|
e p(r,ϑ,ϕ) . |
Конкретный |
вид |
|||||||||||||||||||||||
функций R(r) и Y (ϑ) зависит от состояния электрона в атоме, которое обычно характеризуют основными числами: n − главное квантовое число, l − угловой момент, m − проекция углового момента на ось Z .
Смоделировать процесс последовательного наблюдения электрона в атоме водорода и нарисовать распределение плотности заряда электрона (электронное облако) для указанных ниже состояний. Распределение рисовать в плоскости сечения, проходящего через центр атома.
51
1. Основное состояние, n = 1 :
R(ρ) = 2 e−ρ ; |
|
Y (ϑ)= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. S-состояния, |
l = 0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
R(ρ) |
= |
1 |
|
|
|
ρ |
e |
−ρ 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n = 3 |
R(ρ) |
= |
2 |
|
|
− |
2 |
ρ + |
2 |
|
ρ |
2 |
|
e |
−ρ 3 |
, |
||
|
1 |
3 |
27 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. P-состояние, |
n = 2 , l = 1 , m = 1 : |
|
|
||
R(ρ) = |
1 |
ρ e−ρ 2 |
; Y (ϑ) = |
3 |
sin ϑ . |
|
2 |
6 |
|
2 2π |
|
Y (ϑ)= |
1 |
; |
2 |
π |
|
Y (ϑ)= |
1 |
. |
2 |
π |
|
4. D-состояние, n = 3 , l = 2 , m = 1 : |
|
|
|
R(ρ) = |
4 ρ2 e−ρ 3 ; Y (ϑ) = |
30 |
sin ϑ cosϑ . |
81 |
30 |
4 π |
|
Дополнительные вопросы:
а) Нарисовать электронные облака для перечисленных выше состояний электрона в виде плоской проекции трехмерных объектов.
Задача 8
( Сказка о добром и мудром короле )
Король небольшого государства, дабы лишний раз напомнить подданным о своей доброте, приказал в безветренную погоду поднять над
центром своей резиденции на воздушном шаре |
N = 1000 |
крупных |
|
денежных купюр и сбросить их на высоте |
h = 200 м. Купюры падают вниз |
||
равномерно со скоростью Vвер =1 м/с, |
среднее |
смещение |
купюры в |
52
произвольном горизонтальном направлении (за счет флуктуаций потоков воздуха и сложного движения купюры) составляет r0 = 0.45 м/с.
Нарисовать картину распределения купюр в горизонтальной плоскости в каждый момент времени (через 1 с) до их падения на землю.
Дополнительные вопросы:
а) Если резиденция короля представляет собой круг с радиусом R =10 м, то какая часть денежных купюр попадет на территорию резиденции, то есть вернется обратно королю (или насколько мудр был король) ?
б) Если перед сбрасыванием купюр неожиданно начал дуть ветер, сносящий купюры со средней горизонтальной скоростью Vгор = 0.1 м/с, то какая часть купюр достанется королю (или насколько просчитается король) ?
в) Как изменятся результаты, если смещение купюры r0 может с равной вероятностью принимать значения 0 < r0 < 1 м/с ?
г) Построить гистограмму распределения числа купюр на поверхности земли
|
в зависимости от расстояния r |
до центра резиденции. Вычислить |
r |
и σr . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Имеется цепочка сопротивлений, состоящая из 10 одинаковых звеньев. |
||||||||||||||||||||||
Средние номиналы всех сопротивлений одинаковы и равны |
r = 1 Ом. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивления |
|
|
имеют |
||
a |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
разброс параметров |
∆r , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. истинная величина |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любого |
сопротивления |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
( i = 1, 2, 3,...,20 ) |
может |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
равной |
вероятностью |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находиться |
в |
пределах |
|||
ri |
= |
r |
± ∆r , где |
∆r = 0.3 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
53
Построить гистограмму распределения сопротивления |
|
R |
цепочки |
|||||
(между точками a и b ). |
|
|
|
|
|
|
||
Дополнительные вопросы: |
|
|
|
|
|
|
||
а) Вычислить среднее значение |
|
|
и дисперсию σR . |
|
|
|
||
R |
|
|
|
|||||
б) Какова вероятность, что R будет находиться в пределах |
|
± σR |
? |
|||||
R |
||||||||
в) Нарисовать график зависимости |
|
|
от числа n звеньев цепи. Объяснить |
|||||
R |
||||||||
качественно ход зависимости. |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 10
Нарисовать траекторию движения молекулы азота в газе при
нормальном |
давлении и |
температуре |
T = 300 ° K. |
Средняя длина |
||
свободного пробега молекулы равна |
λ = 0.58 10−5 |
см, а ее средняя |
||||
|
|
= |
(8kT ) (πm). |
Считать, что движение молекулы происходит в |
||
скорость V |
||||||
плоскости, молекула между столкновениями пробегает одно и то же расстояние λ , а направление скорости молекулы после столкновения равновероятно по всем углам.
Примечание: Удобно работать в нормированных безразмерных длинах s = s
λ .
Дополнительные вопросы:
а) Реальная длина l свободного пробега молекулы в газе является случайной величиной и описывается распределением плотности вероятности
|
1 |
− |
l |
|
|
|
|
|
|||
P(l) = |
|
e λ |
( l может меняться от 0 до∞ ). |
||
λ |
|||||
|
|
|
|
||
Решить задачу с учетом случайности длины свободного пробега.
б) Построить график расстояния между текущим положением молекулы и ее начальным положением в зависимости от времени. Какую зависимость
54
напоминает получающийся график ? Используя метод наименьших квадратов, найти параметры этой зависимости.
Задача 11
В газе H 2 , находящимся при нормальных условиях, под действием
электрического разряда в точке с координатами |
(0,0) родилось N = 1000 |
||||
однократно ионизованных молекул H2+ . |
Ионы H2+ имеют ту же |
||||
температуру, что и окружающий газ. |
Среднее время |
τ |
между |
||
соударениями молекул и ионов равно |
τ = 6.7 10−11 с, средняя скорость |
||||
движения молекул и ионов равна |
V = |
8kT |
. Нарисовать в плоскости |
||
|
|
πm |
|
|
|
изменение положений ионов со |
временем. |
Считать, что |
ионы |
между |
|
столкновениями пробегают одинаковое расстояние, а при столкновении ион с равной вероятностью рассеивается под любым углом к направлению скорости иона до столкновения.
Примечание: Удобно |
работать в |
нормированных координатах |
x* = x λ , |
||||||||||
|
|
|
|
y* = y |
λ , |
t* = t / τ |
, где |
λ − длина свободного пробега |
|||||
|
|
|
|
молекул и ионов. |
|
|
|
|
|
||||
Дополнительные вопросы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) Построить гистограмму распределения ионов вдоль оси |
x |
в зависимости |
|||||||||||
от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Нарисовать |
график зависимости среднего квадрата |
координат ионов |
|||||||||||
|
|
1 |
∑N |
(xi2 + yi2 ) |
|
|
|
||||||
|
r 2 |
= |
от времени. |
Какой вид имеет |
зависимость ? |
||||||||
N |
|||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Методом наименьших квадратов найти параметры этой зависимости. |
|||||||||||||
в) Как изменится картина движения ионов, если по оси |
|
x |
приложено |
||||||||||
электрическое поле с напряженностью |
E = 1 кВ/см ? |
|
|
|
|||||||||
55
в) Рассмотреть трехмерный случай движения ионов и нарисовать график зависимости среднего квадрата координат ионов
|
|
N |
|
∑ |
|
|
|
|
r2 = |
1 |
|
N |
(x2 |
+ y2 |
+ z2 ) |
от времени. Методом наименьших квадратов |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i =1 |
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найти параметры этой зависимости. Насколько существенно результаты отличаются от двумерного случая ?
Задача 12
( Метеориты против солнечной батареи )
Небольшой космический спутник питается от солнечной батареи, состоящей из 10×10 элементов, соединенных параллельно-последовательно,
как показано на рисунке. |
|
Э.д.с. каждого элемента равна |
|
ε0 = 1 В, |
||||||||||||||||
внутреннее |
сопротивление |
элемента − |
r0 |
= 100 Ом, площадь |
элемента |
− |
||||||||||||||
s0 = 2 см2. |
Батарея нагружена на |
бортовую аппаратуру |
спутника |
с |
||||||||||||||||
сопротивлением r = 1 кОм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С момента времени |
1 |
|
2 |
9 |
10 |
|
|
|||||||||||||
t = 0 |
спутник попадает |
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в пояс микрометеоритов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
со средней |
плотностью |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
потока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n0 = 50 частиц/с/м2 . |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Попадание |
микромете- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
орита в солнечный эле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мент |
вызывает частич- |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное разрушение послед- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
него, |
и |
внутреннее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивление элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
скачком увеличивается в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
Смоделировать процесс попадания микрометеоритов в батарею и исследовать жизнеспособность спутника.
1. Построить график зависимости мощности P тепла, выделяемого на батарее, от времени.
2.Через какое время эта мощность будет максимальна ? Чему равно максимальное значение выделяемой тепловой мощности ?
3.Если мощность тепла, выделяемого на батарее, становится больше
0.022 Вт, то батарея перегревается и теряет работоспособность. Через какое время это произойдет ?
4. Как изменятся результаты, если промежуток времени ∆t между попаданиями двух микрометеоритов не постоянен, а распределен по
экспоненциальному |
закону |
с |
плотностью |
вероятности |
p(∆t) = n0 s exp(−n0 s ∆t) , где |
s − площадь батареи ? |
|
||
|
Задача 13 |
По ровной наклонной |
плоскости скользит с постоянной скоростью |
V = 1 м/с коробка с массой |
M = 0.3 кг. В момент времени t = 0 пошел |
косой дождь (капли падают перпендикулярно задней стенке коробки).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средний |
радиус |
капель |
составляет |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
= 2 мм, |
а |
средняя скорость их |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
падения |
равна |
v0 |
= 6 м/с. Интервал |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
времени |
∆t |
|
между падениями капель |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
коробку |
является |
случайной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величиной |
|
|
и |
|
описывается |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределением плотности вероятности: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(∆t) = |
1 |
e−∆t τ , где |
τ = 1 с. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать графики зависимостей скорости |
V |
коробки и пройденного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ею пути S от времени.
57
Дополнительные вопросы:
а) Через какое время скорость коробки достигнет величины 3 м/с ? Какой путь пройдет коробка за это время ?
б) Оценить возможный разброс в длине пути, проходимого коробкой за заданное время.
в) Как изменятся результаты, если падающие капли имеют разброс в радиусах, описываемый распределением плотности вероятности
|
1 |
|
(r − r |
)2 |
|
P(r) = |
exp − |
0 |
? |
||
2π |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
г) Для предыдущего вопроса учесть также, что скорость v0 падения капель зависит от их радиуса как v0 ~ 
r .
д) Как изменятся результаты, если задняя стенка коробки срезана сверху так, что 80 % капель, попадающих в коробку, ударяют о ее переднюю стенку и скатываются на дно коробки ? Какой окажется суммарная масса коробки при достижении ею скорости 3 м/с ?
е) Как изменятся результаты, если учесть, что коробка при своем движении
встречает сопротивление воздуха с силой |
F |
= βV 2 , где |
|
возд |
|
β = 6 10−5 кг/м ? Какую максимальную скорость сможет достичь коробка ?
ж) Пусть из-за намокания поверхности, по которой скользит коробка, коэффициент kтр трения скольжения постепенно уменьшается на 1 %
согласно зависимости kтр (t) = k0 [1− 0.01(1− exp(−t
T0 )] , где k0 = 0.8
− начальный коэффициент трения, и T0 = 600 с − характерное время
изменения коэффициента трения. Как в этом случае изменятся ответы на предыдущие вопросы ? Через какое время дождь перестанет влиять на движение коробки ?
58