Обобщенный параметр оптимизации

Исследователю, занимающемуся оптимизацией процессов, часто бывает необходимо решить задачу с несколькими различными выходными параметрами процесса – функциями отклика; каждый параметр имеет свой физический смысл и свою размерность. Одним из наиболее удачных методов решения задачи оптимизации в этом случае является применение функции желательности, используемой в качестве обобщенного критерия оптимизации.

Для перехода к обобщенной функции желательности (D) необходимо преобразовать натуральные значения частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочтительности (d).

Назначение шкалы желательности – установление соотношения между натуральным значением функции отклика (Y) и значением частной функции желательности (d). Наиболее часто используемый вариант шкалы желательности имеет интервал от нуля до единицы; значение d=0 соответствует абсолютно неприемлемому значению функции отклика, а d=1 самому лучшему её значению.

Количественные отметки по шкале желательности	Желательность
0,80 … 1,00	Очень хорошо
0,63 … 0,80	Хорошо
0,37 … 0,63	Удовлетворительно
0,20 … 0,37	Плохо
0,00 … 0,20	Очень плохо

П реобразования с помощью шкалы позволяют привести любую функцию отклика к безразмерной величине. Простейшими вариантами преобразования являются такие, когда имеется верхний и нижний пределы:

d=0 если y<y_min и y>y_max;

d→1 если y_min<y<y_max;

А налогично для одностороннего ограничения (например, нижнего ограничения)

d=0 если y<y_min;

d=1 если y>y_max;

Построение шкалы желательности – это способ формализации (не лишенный субъективной оценки) представлений исследователя о важности частных откликов. Степень важности можно учесть крутизной функции желательности.

Кроме достаточно простого графического способа преобразования натуральных откликов, можно использовать и аналитические зависимости преобразования в частные функции желательности:

где

Показатель степени n определяет наклон кривой

После составления частных функций строят обобщенную функцию желательности

Если хотя бы одна из частных функций желательности будет равна нулю, то какими бы не были остальные частные функции, обобщенная функция обращается в ноль; более того, D наиболее чувствительна к малым значениям частных функций желательности. Тем самым, исключается принятие решений, при которых хотя бы один отклик принимает нежелательные значения. С обобщенной функцией желательности можно выполнять все операции, как с любым откликом системы и, прежде всего, функцию D удобно использовать для оптимизации процесса.

Планирование эксперимента и обработка результатов Методология планирования эксперимента

Основной целью проведения эксперимента с позиции производителя является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс и позволяющей, в конечном результате, осуществлять его управление. Именно с помощью такой модели можно эффективно управлять производством, оперативно изменяя его параметры в соответствии с запросами потребителя и обеспечивая выпуск высококачественной продукции.

При планировании эксперимента исследователь должен:

1. обеспечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований;

2. составить четкую и последовательную логическую схему построения всего процесса исследования: что, когда и как нужно делать;

3. максимально формализовать процесс разработки модели и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований с целью широкого применения автоматизированных расчетов.

Всем перечисленным требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента, являющиеся одним из эмпирических способов получения математического описания сложных процессов. При применении статистических методах планирования эксперимента математическое описание эксперимента обычно представляется в виде полинома, где Y – функция отклика, а X₁, X₂, X₃, … X_n – факторы исследуемого процесса.

План эксперимента в этом случае определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве или, другими словами, условия всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец – значение управляемых факторов в исследуемом процессе, то есть значение параметров, соответствующих условию опыта. В последний столбец матрицы заносят значение функции отклика для указанных в этой строке значений управляемых параметров.

Планирование начинается с выбора центра плана, то есть точки, соответствующей начальному значению всех используемых в эксперименте факторов, в окрестностях которой в дальнейшем ставится серия планируемых опытов. Очевидно, что начальным значениям факторов будет соответствовать начальное значение функции отклика y₀. Центр плана обычно выбирается на основе априорных сведений о процессе. Если же их нет, то обычно в качестве центра плана выбирается центр исследуемой области.

Значение факторов в каждом опыте, в случае применения матрицы планирования эксперимента, отличается от начального их значения x_i0 на величину интервала Δx. Одним из важнейших предварительных условий успешного проведения эксперимента с целью разработки математической модели, адекватной исследуемому процессу, является выбор оптимальной величины Δx.

Предположим, что исследуемая функция Y=f(X₁) имеет вид, приведенный на рис. 9. Если выбрать ΔX’₁, небольшим, то при анализе результатов экспериментов можно придти к ошибочному выводу о том, что его влиянием на функцию отклика можно пренебречь и при дальнейшем проведении эксперимента – исключить. При увеличении ΔX опасность такого ошибочного вывода уменьшается, но увеличивается другая опасность – получение неадекватной модели. Это наглядно видно из рисунка, когда выбор величины интервала, равный ΔX”₁, приводит к необходимости замены линейной модели нелинейной. Заранее предугадать оптимальную величину интервала варьирования довольно трудно. Это зависит от уровня знаний экспериментатором исследуемого процесса. Однако интервалы варьирования по каждому фактору X_i должны выбираться такими, чтобы приращение величины выходного параметра Y к базовому значению y₀ можно было бы надёжно выделить на фоне «шума», создаваемым исследуемым процессом, при небольшом числе параллельных опытов.

Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05…0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора. Далее, для удобства обработки результатов опытов, производят преобразование значений управляемых переменных X_i к безразмерным величинам:

где x_0i – базовое или начальное значение i-ого фактора в центре плана;

Δx_i – значение интервала варьирования по i-ому фактору;

x_i – текущее значение i-ого фактора.

Таким образом, в безразмерной системе координат верхний уровень фактора при проведении эксперимента равен +1, а нижний –1. Координаты же центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. При составлении матрицы планирования эксперимента верхний и нижний уровень переменных для упрощения записи заменяют символом «+» и «–».

Разработку модели процесса следует проводить по принципу от простого к сложному. В соответствии с этим принципом, планирование эксперимента начинают с предположения, что имитируемая модель исследуемого процесса является линейной и имеет вид полинома 1-ого порядка:

Если после обработки и анализа результатов выяснится, что сделанное предположение о линейности модели является ошибочным, переходят к планированию эксперимента из предположения, что эта модель может быть представлена полиномом 2-ого порядка и так далее до тех пор, пока не будет разработана адекватная исследуемому процессу математическая модель.