Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и отнимает много времени для его проведения, так как при увеличении количества факторов число опытов растет по экспоненте. Правда, при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты.

Однако, число опытов можно сократить, если априорно известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия; действительно, в реальной ситуации некоторые взаимодействия факторов особенно высокого порядка (то есть включающих большое число факторов) не влияют на выходной параметр. В этом случае, можно использовать так называемые дробные реплики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент.

Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах x₁, x₂, и x₃, оказывающих влияние на функцию отклика y.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-ого порядка необходимо провести восемь опытов (2³) в соответствии с матрицей планирования. Число опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, для нахождения которого планируется эксперимент. В данном случае, планируемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома, содержащего восемь коэффициентов от a₀ до a₁₂₃. Однако, если взаимодействие между факторами X₁, X₂, и X₃ отсутствуют, можно ограничиться четырьмя опытами. В этом случае, можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов, заменив в ней обозначение х₁х₂ на x₃, соответствующее безразмерному значению фактора Х₁. на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соот­ветствует результату перемножения безразмерных значений двух других факторов (X₁ и X₂), т. е. остается неизменным после за­мены символов в матрице планирования, которая после введения в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу х₁х₂ ПФЭ, а пред­полагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, т. е.

(*)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от тре­буемого их числа 2^k согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2^k. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2^k-I, где k – число учитываемых в эксперименте факторов; I – число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в экспе­рименте.

Для рассматриваемого случая трех факторов Х₁, Х₂, Х₃ ма­трица планирования ДФЭ типа 2^3-1(x₃= x₁ x₂) будет иметь вид

Номер опыта	x0	x1	x2	x3	yj
1	+	–	–	+	y1
2	+	+	–	–	y2
3	+	–	+	–	y3
4	+	+	+	+	y4

Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме сво­бодный член a₀ и коэффициенты при линейных членах a₁, a₂ и a₃. Однако при этом предполагается, что коэффициенты a₁₂, a₁₃, a₂₃, и a₁₂₃ в этом полиноме равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том слу­чае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влия­ние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов иссле­дуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учиты­вающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэф­фициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому про­цессу.

При использовании матрицы планирования ДФЭ нужно всегда помнить, что мы получаем совместную оценку нескольких эффек­тов: факторов и их взаимодействий. Действительно,

Поэтому подсчитываемые в дальнейшем значения линейных коэффициентов a₁, a₂ и a₃ полинома по эксперименталь­ным значениям функции отклика будут всегда включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимо­действия факторов на функцию отклика (в нашем случае — это коэффициенты a₁₂, a₁₃ и a₂₃). В результате этого подсчитанные зна­чения коэффициентов полинома фактически будут иметь сле­дующий вид:

где a₁, a₂ и a₃ – действительные значения линейных коэффи­циентов полинома; a΄₁, a΄₂ и a΄₃ – полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функ­цию отклика.

Вот почему для получения математической модели вида (*), адекватной исследуемому процессу, необходимо быть уверенным в отсутствии эффекта влияния взаимодействия факторов на экспе­риментальное значение функции отклика. Только при этом усло­вии подсчитанные коэффициенты a΄_i будут искомыми значениями линейных коэффициентов a_i. Если это условие не выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов a΄_i, будут отличаться от действительного значения a_i на величину коэффициента a_ij учи­тывающего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов.

Эти эффекты не могут быть раздельно оценены при планирова­нии, состоящем только из одной полуреплики ПФЭ. Если вернуться к нашему случаю исследования процесса, в котором учитываются три фактора, то проведение четырех опытов было достаточно для оценки четырех коэффициентов (включая свободный член a₀) именно для математической модели вида (*), в которой эффект влияния взаимодействия факторов не учитывается. Если же у ис­следователя возникают сомнения в отсутствии этого эффекта, то необходимо вернуться к модели ПФЭ и провести не менее восьми опытов и все коэффициенты (включая коэффициенты, учи­тывающие эффект влияния взаимодействий факторов) оценить раздельно. Раздельно оценить эти эффекты (т. е. раздельно оценить коэффициенты a₁, a₂, a₃, a₁₂, a₁₃, и a₂₃, вхо­дящих в полученные значения a΄₁, a΄₂, и a΄₃) с помощью четырех опытов, условия которых оговорены матрицей планирования ДФЭ 2^3-1, не представляется возможным, так как здесь неразличимы столбцы для линейных членов и парных взаимодействий. Однако такую раздельную оценку для линейных коэффициентов a΄_i и коэф­фициентов a΄_ij, учитывающих парное взаимодействие факторов, можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опыта в соответствии с матрицей планирования ДФЭ 2^3-1, приравнивая x₃ = – x₁ x₂.

Подсчитанные коэффициенты a΄_i, линейных членов полинома, также как и в предыдущем случае, будут включать реаль­ные значения коэффициентов a₁, a₂ и a₃, учитывающих эффект влияния парного взаимодействия факторов на полученный экспе­риментальный материал. Но в данном случае совместная оценка коэффициентов уже будет происходить с обратным знаком

Изменение знака объясняется тем, что для матрицы ДФЭ 2^3-1 взаимозависимость значений факторов имеет вид

Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно записать раздельные оценки

Таким образом, для получения раздельных оценок a_i и a_ij необ­ходимо было провести восемь опытов, т. е. пришлось объединить две полуреплики от ПФЭ 2³. Поэтому практически всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ; если у исследователя появи­лись сомнения в том, что какие-то взаимодействия, ранее не вклю­ченные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр он всегда имеет возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих его эффектов.

В случае применения матриц планирования ДФЭ для исследо­вания процессов, содержащих более трех факторов, нужно стре­миться к тому, чтобы максимальное число линейных факторов оказалось не смещенным с парными взаимодействиями. Чем более высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уров­нем разрешающей способности для раздельной оценки коэффи­циентов полинома будет обладать матрица ДФЭ.

Для формализации процедуры определения разрешающей спо­собности дробной реплики, представленной в виде матрицы пла­нирования ДФЭ при фиксированных k и I, вводятся понятия генерирующего соотношения (ГС) и определяющего контраста (ОК.).

В примере с тремя факторами Х₁, Х₂ и Х₃ генерирующими соот­ношениями являются x₃ = x₁x₂ и x₃ = – x₁x₂, каждое из кото­рых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 2³.

Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, т. е. на x₃. При этом полу­чаются элементы второго столбца матрицы планирования ДФЭ, соответствующие свободному члену a₀ полинома, которые всегда равны единице, так как x²_i = 1:

Формализация заключается в том, что определяющие контрасты позволяют определить всю систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования. Для этого последовательно умножают обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной ма­трицы ДФЭ.

При планировании эксперимента исследователь имеет возмож­ность приравнять вновь вводимые в матрицу факторы различным взаимодействиям, и, как следствие, получить различные ОК и си­стемы совместных оценок. Из всех вариантов приемлемыми яв­ляются лишь те, в которых не происходит совместная оценка двух интересующих исследователя эффектов.

Имея систему совместных оценок, можно формализовать про­цедуру построения плана ДФЭ, обеспечивающего высокую разре­шающую способность при определении коэффициентов полинома.

Чтобы получить высокую разрешающую способность, стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы линейные факторы были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными нулю) или с теми взаимодействиями, о ко­торых априорно известно, что они не оказывают влияния на про­цесс. Оценить разрешающую способность нам помогает ГС, чем больше символов входит в ГС, тем обычно выше разрешающая способность.

Например, если в эксперименте рассматриваются четыре фак­тора (k = 4), то в предполагаемой линейной имитационной матема­тической модели, соответствующей полиному 1-го порядка, имеем

При планировании ПФЭ типа 2⁴, необходимо было бы провести минимум 16 опытов для определения 16-ти коэффициентов.

Полуреплика от этого плана ПФЭ будет включать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 2^4-1 можно построить на базе матрицы планирования ПФЭ типа 2³, заменив одно из взаимо­действий на четвертый фактор.

Рассмотрим в качестве генерирующих соотношений одно, из числа низкого порядка, например х₄=х₁х₂, а другое – из числа са­мого высокого порядка, в данном случае х₄= х₁х₂х₃.

На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК:

С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок:

Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 2⁴ получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравни­ваются к независимой переменной (в нашем случае, к четвертому линейному фактору Х₄). При ГС х₄=х₁х₂ (левая колонка системы совместных оценок), член, учитывающий парное взаимодействие факторов Х₁ и Х₂ (a₁₂Х₁Х₂) будет заменен в уравнении, а сле­довательно, и в матрице, на член, учитывающий влия­ние четвертого фактора Х₄ на функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 2^4-1 и имитационной математической модели вида

Для ГС х₄= х₁х₂х₃ план ДФЭ 2^4-1 будет соответствовать модели вида

В обоих случаях потребуется провести 8 опытов для определе­ния 8 коэффициентов. Однако разрешающая способность дробной реплики ГС х₄= х₁х₂х₃, для раздельной оценки коэффициентов a₁, a₂, a₃, a₄ при линейных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы, как видно из приведенной системы совместных оценок, не смешаны с парными взаимодействиями, в то время, как для ГС x₄ = x₁x₁₂ три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями.

Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа 2^5-2 могут быть заданы, например генерирующее соотношение

заранее полагая, что пара x₁x₂ и тройка x₁x₂x₃ не дает значимого эффекта взаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть-реплики согласно вышеприведенным правилам будут соотношения

Если у дробной реплики имеются два и более определяющих контраста, то для нахождения обобщающего определяющего контраста их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В случае четверть-реплики получается одна комбинация

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности

Совместные оценки здесь будут определяться соответствиями

По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики с большей степенью дробности (1/4,1/8). При этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, ибо для линейной имитационной модели соответственно возрастет порядок взаимодействия факторов и количество членов полинома, учитывающих эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оценки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая коэффициент a₀.