Редукция сложных систем

Другим эффективным инструментом математического моделирования является редукция систем динамических уравнений, то есть уменьшение их числа без существенной утраты информативности.

Сложные системы, обладающие большим числом динамических переменных, встречаются очень часто. Их исследование сопряжено со значительными трудностями. Это связано, в частности, с невозможностью применить к сложным системам методы качественной теории дифференциальных уравнений (анализ бифуркаций).

Однако в ряде случаев оказывается возможной редукция системы уравнений, которая связана с анализом скоростей процессов, описываемых отдельными уравнениями, входящими в систему. Если скорости одних процессов значительно превышают скорости других, то более быстрые за короткое время (по сравнению со временем установления равновесного состояния в медленных процессах) достигнут квазистационарного состояния. Это значит, что в «быстрых» уравнениях можно пренебречь производной по времени: соответствующие уравнения превратятся из дифференциальных в алгебраические. Следовательно, динамические переменные, относящиеся к быстрым процессам, могут быть исключены из уравнений, описывающих медленные процессы. Всё это приводит к редукции системы. Метод редукции особенно эффективен при исследовании больших систем.

Рассматриваемая методика редукции систем динамических уравнений предполагает предварительное исследование временной иерархии процессов. Иногда это исследование затрудняется из-за наличия в системе нелинейных обратных связей. Следует иметь в виду, что обратные связи могут оказывать влияние на динамику системы со значительной задержкой во времени.

В итоге, значительную роль приобретает исследование модели, полученной в результате редукции системы уравнений, на адекватность. Это означает, что результаты, следующие из математической модели, должны соответствовать данным, получаемым путем измерения исследуемого процесса.

Анализ моделей

Альберт Эйнштейн, по поводу соответствия теории и эксперимента, отмечал, что эксперимент в большинстве случаев говорит теории «нет» и только в редких случаях – «может быть».

Расхождения между модельными результатами и данными наблюдений всегда существуют; можно считать, что эти расхождения являются мерой неадекватности модели.

Во многих случаях математическая модель дает только качественное описание реального объекта. Однако не следует думать, что это слабый результат. Знание особенностей поведения системы вносит значительный вклад в понимание исследуемого процесса.

Качественное описание объекта является первым этапом. Оно должно быть дополнено количественным описанием, то есть моделированием с высоким уровнем адекватности.

Однако к высокому уровню адекватности не всегда целесообразно стремиться. Следует иметь в виду, что чем выше уровень адекватности, тем сложнее математическая модель, обеспечивающая этот уровень, и, следовательно, труднее ею пользоваться. Часто возникает ситуация, в которой для численного решения задачи оказываются недостаточными имеющиеся средства вычислительной техники. В связи с этим возникает необходимость построения «конструктивной» модели, которая обеспечивает разумную в данной ситуации адекватность и, в то же время, достаточно компактна и допускает численные решения с использованием современной вычислительной техники. Иными словами, требования высокой конструктивности и адекватности не могут быть одновременно удовлетворены. Здесь необходим поиск разумного компромисса.

При создании математической модели используются экспериментальные данные, характеризующие объект. Например, это могут быть данные, характеризующие отдельные процессы, а также системы, как целого. В таких случаях ошибочно утверждают, что математическая модель не может дать ничего сверх того, что в неё первично заложено на основе экспериментальных данных. Этот неверный взгляд часто приводит к недооценке роли математического моделирования.

В действительности математические модели обладают предсказательной способностью; из них следуют результаты, которые первично небыли заложены и не могут быть получены путем непосредственного осмысления экспериментальных данных. Предсказательные свойства математических моделей особенно ярко проявляются при моделировании больших систем.

Бифуркации – это существенные изменения динамического поведения. Анализ бифуркаций представляет собой метод качественной теории дифференциальных уравнений. Этот метод позволяет анализировать поведение динамической системы, не получая её решения. В результате устанавливают наличие бифуркаций – существенных изменений поведения динамической системы, а также параметры этой системы, при которых возникают бифуркации. Бифуркации могут проявляться в виде пороговых эффектов. Большую роль также играют бифуркации, при которых система входит в колебательный, точнее, автоколебательный процесс. Особенностью автоколебательного процесса является отсутствие внешней возмущающей силы. Автоколебания являются следствием внутренних свойств нелинейной колебательной системы.