Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной
2.1. Последовательность и ее предел
Определение 2.1.
Пусть любому
натуральному числу n
сопоставлено
в соответствие вещественное число х
,
тогда говорят, что задана последовательность
,…
Обозначение: { х }.
Числа ,… называются членами последовательности, n-ый член х называется общим членом последовательности.
Замечание 2.1.
Последовательность можно рассматривать как некоторую функцию f, область определения которой есть множество натуральных чисел /N, при этом х = f (х ) для любых n /N.
Пример 2.1.
Рассмотрим
последовательность {q
}
(q
0).
Такая
последовательность называется
геометрической
прогрессией.
В развернутом виде
она может быть записана, например, при
q=
в виде:
…
Пример 2.2. (Последовательность Фибоначчи)
(n
3).
Такая последовательность задана рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.
Определение 2.2.
П
усть
а,
-
вещественные
числа, причем
>0.
–окрестностью
точки а
называется интервал (а-
,
а +
).
Обозначение:
(а).
Определение 2.3.
Число а называется пределом последовательности {х }, если какую бы малую
окрестность
(а)
ни взять, все точки х
с достаточно большими номерами (n
)
попадут в
эту окрестность, причем вне этой
окрестности может остаться лишь конечное
число точек, изображающих члены
последовательности.
Если последовательность {х } имеет конечный предел а, то говорят, что данная последовательность сходится к числу а.
Обозначение:
Пример 2.3.
Рассмотрим
последовательность
,
или в развернутом виде
…
Д
.
0
.
.
.
.
0
.
.
.
Пусть, например,
=
.
Построим окрестность
(0)
точки О.
Рис. 2.1
Из рисунка 2.1.
видно, что начиная с номера N
=11
все точки х
=
попадают в окрестность
(0).
Аналогичные рассуждения можно провести и для любых других значений . Таким образом, .
2.2. Предел функции в точке. Односторонние пределы
Определение 2.4. (предела функции на языке последовательностей).
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точке x0 за исключением возможно самой точки x0. Число а называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любой последовательности {х }, сходящейся к x0 (xn x0), соответствующая последовательность {f (х )} сходится к числу а. При этом предполагается, что все xn принадлежат рассматриваемой окрестности точки x0.
Определение 2.5. (предела функции на формальном языке).
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 за
исключением
возможно самой точки x0.
Число а
называется
пределом функции
f(x)
в точке
x0,
если для любого положительного числа
существует положительное число
такое, что
,
если
.
Обозначение:
.
Пример 2.4.
Доказать, что
Решение
Рассмотрим
положительное число
.
Неравенство
равносильно неравенству
.
Положим
=
,
тогда если
,
то
,
следовательно,
.
Определение 2.6.
Левой (правой)
полуокрестностью точки x0
называется полуоткрытый промежуток
вида
,
где δ - положительное число.
Определение 2.7.
Пусть функция f(x)
определена в некоторой левой полуокрестности
точки x0
за исключением возможно самой точки
x0.
Число а
называется левосторонним
пределом функции
f(x)
в точке
x0,
если для любого положительного числа
существует положительное число
такое, что
,
если
.
Обозначение:
.
Аналогично определяется правосторонний предел функции f(x) в точке x0.
Обозначение:
.
Теорема 2.1.
Для существования
предела
необходимо и достаточно существования
и равенства односторонних пределов:
=
Пример 2.5.
Рассмотрим функцию
sn(x)=
(см.
пример 1.8.)
Имеем
,
.
По теореме 2.1 не существует предела функции sn(x) в точке x0 = 0.