Глава VII. Определенный интеграл

7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла

 Определение 7.1.

П усть функция определена и ограничена на отрезке [a, b] и – произвольное разбиение этого отрезка на частей (рис. 7.1).

Сумма вида , где называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b].

  

 

 

 

 

 

 

 

рис. 7.1.

   Определение 7.2.

Д иаметром разбиения называется наибольшая длина частичного отрезка разбиения, то есть .

Определение 7.3.

Если существует конечный предел суммы при условии, что диаметр разбиения , не зависящий от способа разбиения отрезка интегрирования [a,b], а также от способа выбора точек , то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] ( в пределах от до ).

О бозначение: .

В этом случае функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b] (по Риману), выражение называется подынтегральным выражением, функция – подынтегральной функцией, числа a, b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Теорема 7.1. (о достаточных условиях интегрируемости)

Непрерывные и кусочно-непрерывные отрезки на [a, b] функции являются интегрируемыми.

Геометрический смысл интеграла.

Геометрически определённый интеграл является алгебраической суммой площадей фигур, составляющих так называемую криволинейную трапецию , ограниченную указанной кривой , прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис.7.1). Причем, площади частей, расположенных выше оси берутся со знаком «+», а площади частей, расположенных ниже оси – со знаком «–».

Экономический смысл интеграла.

С помощью определенного интеграла можно найти объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T], если производительность производства описывается функцией y = f(t) на этом промежутке времени:

Пример 7.1.

Составить интегральную сумму S_n для функции на отрезке , разделив этот отрезок на равных частей и выбирая точки совпадающими с левыми концами частичных отрезков . Вычислить определённый интеграл как предел интегральных сумм (рис. 7.2).

    

 

 

 

 

 

  Рис. 7.2 Рис. 7.3

  Имеем и ,

о ткуда .

Следовательно,

=

Таким образом, а значит, .

 Пример 7.2.

Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы , осью и вертикальной прямой (рис. 7.3).

Разобьём основание криволинейного треугольника на равных частей с длиной .

Вычислив значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь

.

Площади вписанных прямоугольников равны .

С уммируя, получим площадь ступенчатой фигуры

П ользуясь формулой суммы квадратов целых чисел

, находим .

Следовательно, (кв.ед.).

Пример 7.3.

С помощью определенного интеграла найдем дневную выработку u за восьмичасовой рабочий день, если производительность труда описывается формулой y= f (t) = а(-0,2t2 + 1,6t + 3), где t[0,8] – время в часах, а – множитель размерности продукции.

Д невную выработку u можно выразить определенным интегралом

.