- •Предисловие
- •Глава I. Введение в анализ
- •1.1. Множества. Основные определения
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Функция одной переменной. Основные определения
- •1.4. Свойства функции
- •1.5. Способы задания функции
- •1.6. Элементарные функции
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2.1. Последовательность и ее предел
- •2.2. Предел функции в точке. Односторонние пределы
- •2 .3. Предел функции при . Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.4. Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы
- •2.5. Замечательные пределы
- •2.6. Сравнение функций
- •2.7. Асимптоты кривой
- •2.8. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность
- •2.9. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке. Односторонние производные
- •3.2. Геометрический смысл производной
- •3.3. Понятие бесконечной производной
- •3.4. Основные правила дифференцирования функций
- •3.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •3.6. Дифференциал функции
- •3.7. Дифференцирование параметрически заданной функции
- •3.8. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •4.4. Возрастание и убывание функции
- •4.5. Экстремумы функции
- •4.6. Направление выпуклости кривой
- •4.7. Точки перегиба кривой
- •4.8. Построение графика функции
- •Глава V. Функции нескольких переменных
- •5.1. Понятие n-мерного координатного пространства
- •5.2. Определение функции нескольких переменных
- •5.3. Частные производные функции
- •5.4.Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •5.5 Дифференциал функции двух переменных
- •5.6. Частные производные высших порядков функции двух переменных
- •5.7. Экстремумы функции
- •Глава VI. Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •6.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6.3.Таблица основных неопределённых интегралов
- •6.4. Основные методы интегрирования
- •1) Метод непосредственного интегрирования
- •2) Метод подведения под знак дифференциала
- •3) Метод замены переменной
- •4) Метод интегрирования по частям
- •6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен
- •6.6. Интегрирование рациональных дробей
- •6.7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1) Интегралы вида
- •2) Интегралы вида .
- •3) Интегралы вида ,
- •6) Интегралы вида
- •6.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •3) Интегрирование дифференциальных биномов.
- •Глава VII. Определенный интеграл
- •7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла
- •7.2. Свойства определённого интеграла
- •7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла
- •1) Замена переменной в определённом интеграле.
- •2) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла
- •8.1. Вычисление площади плоской фигуры
- •8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Глава IX. Несобственные интегралы
- •9.1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
- •9.2. Свойства несобственных интегралов I рода
- •, Где α, β – числа.
- •9.3. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
- •1) Признак сравнения.
- •9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
- •Глава х. Числовые ряды
- •10.1. Основные определения и примеры
- •10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Операции над числовыми рядами
- •10.3. Знакоположительные ряды
- •10.4. Знакочередующиеся ряды
- •10.5. Знакопеременные ряды
- •Глава XI. Функциональные ряды
- •11.1. Основные определения и примеры
- •11.2. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
- •11.3. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Классификация решений
- •12.3 Дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной и диффернциальной форме
- •12.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3.2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •12.3.3. Линейные уравнения первого порядка Уравнение Бернулли
- •12.3.4. Уравнения в полных диффернциалах Интегрирующий множитель
- •12.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •12.4.1.Основные понятия и определения. Задача Коши
- •12.4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •12.5. Линейные уравнения второго порядка
- •12.5.1. Основные понятия и определения
- •12.5.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.6. Экономические приложения дифференциальных уравнений второго порядка
- •Литература
- •Оглавление
- •Глава I. Введение в анализ.
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной.
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных.
- •Глава V. Функции нескольких переменных.
- •Глава VI. Неопределенный интеграл.
- •Глава VII. Определенный интеграл.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •Глава IX. Несобственные интегралы.
- •Глава XI. Функциональные ряды.
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
4.8. Построение графика функции
При исследовании функции и построении ее графика целесообразно придерживаться следующей схемы:
1. Исследование функции без использования первой и второй производных.
а) Найти область определения функции D(f).
б) Определить точки пересечения графика с осями Ох и Оу.
в) Проверить, является ли функция четной, нечетной или периодической.
г) Выяснить вопрос о существовании вертикальных и наклонных асимптот (см. п. 2.7).
2. Исследование функции с помощью первой производной.
а) Найти точки, подозрительные на экстремум.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума.
3. Исследование функции с помощью второй производной.
а) Найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб.
б) Заполнить таблицу интервалов постоянной выпуклости и точек перегиба.
4. Построение графика функции в целом.
Пример 4.10.
Построить график функции f(x) = .
Будем следовать изложенной выше схеме.
1. Область определения функции есть множество D(f) = (-∞, -2) (-2, +∞).
Определим точки пересечения графика функции с осями Ох, Оу: А( , 0); В(- , 0); С(0, ).
Отметим, что функция не является ни четной, ни нечетной, а также не является периодической.
Вычислим односторонние пределы в точке х=-2: .
Следовательно, прямая х = -2 является вертикальной асимптотой.
Исследуем наличие наклонных асимптот. Пусть х→ +∞, тогда
Следовательно, прямая у = -х+2 есть наклонная асимптота при х→ +∞.
Аналогично доказывается, что та же прямая является наклонной асимптотой при х→ -∞.
2. Для определения точек, подозрительных на экстремум, вычислим производную .
Точками подозрительными на экстремум, будут точки х1 = 3 и х2 = -1, в которых производная обращается в нуль.
Заполним таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума:
х |
(-∞, -3) |
-3 |
(-3, -2) |
(-2, -1) |
-1 |
(-1, +∞) |
знак f'(x) |
- |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
Возрастание, убывание; вид экстремума |
|
min |
|
|
max |
|
Из таблицы видно, что х1 = хmin = -3, при этом уmin = f(xmin) = 6, а х2 = хmax = -1, при этом уmax = f(xmax) = 2.
Отметим также, что функция убывает на промежутке (-∞, -3), (-1, +∞) и возрастает на промежутках (-3, -2), (-2, -1).
Для нахождения точек, подозрительных на перегиб, вычислим вторую производную f''(x) = - .
Подозрительной на перегиб является единственная точка с абсциссой х = -2, но поскольку точка х = -2 не принадлежит области определения функции, то перегибов график функции не имеет.
Заполним таблицу интервалов постоянной выпуклости:
х |
(-∞, -2) |
(-2, +∞) |
знак f''(x) |
+ |
- |
Направление выпуклости |
|
|
Из таблицы видно, что на промежутке (-∞, -2) кривая у = f(x) выпукла вниз, а на промежутке (-2, +∞) – выпукла вверх.
4. Строим график функции (рис. 4.13).
у
6
2
С
-1
х
А
В
-2
-3
у = -х+2
рис. 4.13.