12.4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка во многих случаях удается проинтегрировать в квадратурах путем предварительного сведения его к уравнению первого порядка.

1^°. Уравнения вида y"=f(x)

Общее решение такого уравнения получается путем 2-кратного интегрирования: ; .

Пример 12.20.

Найдем общее решение дифференциального уравнения .

Интегрируем это уравнение последовательньно два раза: , откуда .

2^°. Уравнение, не содержащее неизвестной функции

Уравнение вида F(x,y',y") = 0 подстановкой приводится к уравнению первого порядка F(x,z,z') = 0.

Если удается получить общее решение последнего уравнения в виде , то задача нахождения решения исходного уравнеия сводится к решению уравнения первого порядка .

Пример 12.21.

Найдем решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие начальным условиям: а) , при ; б) , при .

Положим , тогда или ,

1) при , интегрируя , получим , , , ;

2) при имеем или , откуда . Следовательно, исходное уравнение имеет общее решение и семейство особых решений .

Найдем решение поставленных задач Коши:

а) Воспользуемся общим решением.

Имеем , . Полагая здесь , , , получим систему уравнений для определения ппоизвольных постоянных: ; , откуда , .

Подставляя эти значения и в общее решение, найдем два решения: и .

Других решений нет, так как ни одно из особых решений не удовлетворяет рассматриваемым начальным условиям;

б) Подставляя начальные данные , , , получим ; , откуда , и . Из особых решений только функция удовлетворяет рассматриваемым начальным данным.

3^° Уравнение, не содержащее независимой переменной

Уравнение вида F(у,y',y") = 0 допускает понижение порядка на единицу, если ввести новую неизвестную функцию и принять у за независимую переменную. При этом .

Подставляя это выражение в исходное уравнение, придем к уравнению первого порядка относительно функции p(y).

Пример 12.22.

Решим дифференциальное уравнение .

Уравнение не содержит независимую переменную х.

Полагая , , приходим к уравнению первого порядка , которое является уравнением Бернулли и решается, например, с помощью подстановки .

Имеем , откуда (С₁ = 2С).

Заменяя здесь р на у', разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл .

12.5. Линейные уравнения второго порядка

12.5.1. Основные понятия и определения

Определение 12.20.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида .

Функции называются коэффициентами уравнения, f(x) – правой частью уравнения.

Определение 12.21.

Если при всех рассматриваемых значениях х функция f(x)≡0, то данное уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Теорема 12.5.

Если коэффициенты правая часть f(x) непрерывны на интервале (a,b), то для любых начальных условий (х₀ (а, b)) задача Коши имеет решение и оно единственно.

Всякое решение уравнения является частным решением, так что особых решений оно не имеет.

Однородное линейное уравнеие имеет нулевое решение у≡0, удовлетворяющее нулевым начальным условиям при и оно единственно.

Определение 12.22.

Система из двух функций y₁ = y₁(x) и y₂ = y₂(x) называется линейно-независимой, на интервале (a,b) если тождество выполняется лишь в случае .

Определение 12.23.

Фундаметальной системой решений (ФСР) однородного уравнения называется два его любых линейно-независимых частных решения у₁, у₂.

Теорема 12.6.

Общее решение однародного линейного уравнения есть линейная комбинация решений у₁, у₂ его фундаментальной системы, то есть .

Теорема 12.7.

Чтобы система решений у₁, у₂ была ФСР на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a,b).

Ниже будет показано, что построить ФСР в элементарных функциях всегда удается для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как для этих уравнений легко находится общее решение. Для уравнений с переменными коэффициентами общего метода построения ФСР не существует.

Пример 12.23.

Функции линейно независимы на интервале .

Действительно, = =

, если .

Теорема 12.8.

Общее решение неоднародного динейного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уровнения и любого частного решения у_ч не однородного уравнения, то есть .

Замечание 12.4.

Пользование данной формулой на практике затруднительно, так как метод определения частного решения получен лишь для уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью некоторого специального вида.

Приведем одно свойство решений (принцип суперпозиции решений): если правая часть уравнения состоит из нескольких слагаемых и для уравнения с той же левой частью и правой частью, равной каждому из этих слагаемых в отдельности, мы можем найти частное решение, то сумма последних будет частным решением всего уравнения.

Если частное решение подобрать затруднительно, для нахождения общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения обычно применяют метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), который всегда дает возможность найти общее решение уравнения, если известна фундаментальная система решений соответствующего ему однородного уравнения.

Этот метод заключается в том, что решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и решение однородного уравнения, а именно, , где , - некоторые неизвестные непрерывно-дифференцируемые функции от х. Эти функции находятся из системы .

Решая систему уравнений как алгебраическую, находят производные от искомых функций, далее интегрированием восстанавливают и сами эти функции.

Пример 12.24.

Зная, что функции и образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения , найдем общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение соответствующего однородного уравнения запишем в виде .

Найдем общее решение неоднородного уравнения.

Найдем общее решение по методу вариации произвольных постоянных, для чего составим систему относительно : ; .

Отсюда найдем . Интегрируя, получим ; .

Запишем общее решение =

.