4.6. Направление выпуклости кривой

Определение 4.2.

Пусть функция f(x) непрерывна на интервале (a, b). Кривая у = f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если для любых двух точек M и N на этой кривой, абсциссы которых принадлежат интервалу (a, b), соединяющая их хорда лежит ниже (выше) кривой.

На рис. 4.6 кривая у = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.7 – вниз.

y

y = f(x)

y

N

M

y = f(x)

N

M

x

x

a

b

O

O

b

a

рис. 4.6.

рис. 4.7.

Замечание 4.5.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), то она называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если касательная, проведенная в любой точке М кривой с абсциссой из (a, b), лежит выше (ниже) кривой, кроме точки касания.

На рис. 4.8 кривая y = f(x) выпукла вверх, а на рис. 4.9 – вниз.

y

y

M

y = f(x)

y = f(x)

M

a

b

x

O

x

b

a

O

рис.4.8.

рис.4.9.

Теорема 4.10 (о необходимом условии выпуклости кривой).

Предположим, что функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b), тогда если кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b), то f''(x) ≤ 0 (f''(x) ≥ 0) при всех х (a, b).

Теорема 4.11 (о достаточном условии выпуклости кривой).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b), тогда если f''(x) < 0 (f''(x) > 0) при всех х (a, b), кроме возможно конечного числа точек, в которых f''(x) = 0, то кривая y = f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b).

Пример 4.8.

Определим интервалы постоянной выпуклости кривой у = f(x) = 2х + 3 .

Вычислим вторую производную: . Нетрудно видеть, что f''(x) < 0 при х (-∞, 0) (0, +∞).

Следовательно, по теореме 4.11 исходная кривая является выпуклой вверх на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞), что и отражено на рис. 4.5.

4.7. Точки перегиба кривой

Определение 4.3.

Предположим, что функция f(x) непрерывна на интервале (a, b) и х₀ (a, b).

Точка М₀ (х₀, f(x₀)) называется точкой перегиба кривой y = f(x), если при переходе через эту точку кривая y = f(x) меняет направление выпуклости.

Точка перегиба является локальной характеристикой и дает представление о поведении кривой лишь в некоторой окрестности х₀.

На рис 4.10 и 4.11 точка М₀ является точкой перегиба изображенных кривых.

у

у = f(x)

у

у = f(x)

M₀

M₀

x

b

x₀

a

0

x

b

x₀

a

0

рис. 4.10.

рис. 4.11.

Теорема 4.12(о необходимом условии перегиба кривой).

Если точка М₀(х₀,f(x₀)) является точкой перегиба кривой y=f(x) и существует , то =0.

Следствие

Если точка М₀(х₀,f(x₀)) есть точка перегиба кривой y=f(x), то либо =0, либо не существует.

Точка М₀(х₀,f(x₀)) называется точкой, подозрительной на перегиб, если для абсциссы этой точки выполняется одно из условий следствия.

Теорема 4.13(о достаточном условии перегиба кривой).

Пусть функция f(x) дважды дифференцирована в некоторой окрестности точки x₀ за исключением возможно самой точки x₀, а в точке x₀ функция f(x) непрерывна, тогда если меняет знак при переходе через x₀, то точка М₀(х₀,f(x₀)) является точкой перегиба кривой y=f(x).

Пример 4.9.

Определим точки перегиба кривой .

Вычислим вторую производную и найдем точки, подозрительные на перегиб:

Вторая производная существует при всех /R и обращается в нуль при x₁=-1 и x₂=1.

Таким образом, точки М₁(-1, ln2), М₂(1, ln2) являются точками, подозрительными на перегиб.

Составим следующую таблицу:

X	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
Знак f''(x)	-	0	+	0	-

К

у

ак видно из таблицы, f''(x) меняет знак при переходе через точки x₁=-1 и x₂=1. Согласно теореме 4.13 точки М₁(-1, ln2) и М₂(1, ln2) есть точки перегиба исходной кривой (рис.4.12).

у = ln(1+x²)

M₂

M₁

ln2

х

1

-1

0

рис. 4.12