Предисловие

Настоящее пособие предназначено в помощь студентам всех форм обучения при изучении учебной дисциплины «Математика», которая входит в федеральный компонент общепрофессиональных дисциплин, предусмотренных государственным образовательным стандартом высшего образования по специальностям 080105 «Финансы и кредит» и 080507 «Менеджмент организации».

Материал, изложенный в пособии, охватывает основные разделы дисциплины «Математический анализ», которая изучается в первом и втором семестрах и является составной частью дисциплины «Математика».

В первых трех главах определяются базовые понятия математического анализа такие, как функция одной переменной, предел функции в точке, непрерывность функции в точке и на промежутке, производная и дифференциал функции. Четвертая глава посвящена аналитическим и геометрическим приложениям производных. В пятой главе речь идет о функциях нескольких переменных, которые изучаются в меньшем объеме, нежели функции одной переменной. Интегральное исчисление функций одной переменной представлено шестой, седьмой, восьмой и девятой главами. В десятой и одиннадцатой главах рассматриваются числовые и функциональные ряды соответственно, а в двенадцатой главе – дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами.

В приложении 1 представлены формулы элементарной математики, а в приложении 2 – свойства и графики основных элементарных функций.

Несмотря на то, что в пособии излагаются традиционные положения математического анализа, оно является важной составляющей учебного процесса, особенно для студентов очно – заочной и заочной форм обучения, а также может быть востребовано при изучении других дисциплин.

Структура и содержание рукописи соответствует государственному образовательному стандарту и примерной программе учебных дисциплин.

Главы I-V написаны Тарасовой О.Ю., главы VI-XII написаны Кучер О.Н.

Глава I. Введение в анализ

Математический анализ – это дисциплина, которая изучает свойства функций одной или нескольких переменных.

1.1. Множества. Основные определения

Определение 1.1.

Множеством называется совокупность объектов, наделенных одним или несколькими общими свойствами.

Объекты, из которых состоит множество, называется его элементами.

Обозначения:

А, B, C, ... – множества,

a, b, c, ... – объекты множества.

Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству А.

Пример 1.1.

A = {a : P(a)} - множество, состоящее из элементов a, обладающих свойством P(a).

Пример 1.2.

A = {a} – множество, состоящее из одного элемента а,

B = {a; b} – множество, состоящее из двух элементов а, b и т.д.

Пример 1.3. (Числовые множества).

/N = {1, 2, ... , n, ...} – множество натуральных чисел,

Z = {... , -n, ... , -1, 0, 1, ... , n, ...} – множество целых чисел,

Q = {a: a = , p, q Z, q 0} – множество рациональных чисел,

/R – множество вещественных чисел (оно состоит из рациональных и иррациональных чисел).

Пример 1.4. (Числовые промежутки).

(a, b) = {x /R : a< x < b},

[a,b) = {x /R : a x< b},

(a, b] = {x /R : a < x b},

[a, b] = {x /R : a x b},

(- , a) = {x /R : x < a},

(- , a] = {x /R : x a},

(b, + ) = {x /R : x > b},

[b, + ) = {x /R : x b}.

Промежуток (a, b) называется открытым промежутком или интервалом, промежутки [a, b), (a, b] – полуоткрытыми, [a, b] – замкнутым промежутком или отрезком.

Промежутки (- , а), (- , а], (b, + ), [b, + ) называются бесконечными промежутками.

Замечание 1.1.

В математике часто используется понятие пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .

Определение 1.2.

Пусть X – непустое числовое множество. Верхней границей множества Х называется число М такое, что х М для любого х Х.

Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей множества Х.

Обозначение: supX (supremum X).

Определение 1.3.

Пусть Х – непустое числовое множество. Нижней границей множества Х называется число m такое, что x m для любого х Х.

Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей множества Х.

Обозначение: inf X (infimum X).

Замечание 1.2.

Точные границы могут также не принадлежать множеству или быть бесконечными.

Пример 1.5.

Рассмотрим множества

А = (2, 3), В = [2, 3), C = [2, 3].

Для всех множеств имеем inf A = inf B = inf C = 2, sup A = supB = sup C = 3.

Пример 1.6.

Для множества натуральных чисел inf /N = 1, sup /N = +