12.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
12.4.1.Основные понятия и определения. Задача Коши
Определение 12.15.
Дифференциальным уравнением второго продка называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производные у', y",то есть F(x,y,y',y") = 0 (в общем виде) или у" = f(x,y,y') (в нормальной форме).
Определение 12.16.
Задачей Коши
для дифференциального уравнения второго
порядка называется задача нахождения
решения
этого уравнения, удовлетворяющего
заданным начальным условиям
.
Определение 12.17.
Общим решением
уравнения второго порядка называется
такая функция
,
которая при любых допустимых значениях
С1,
С2
является решением этого уравнения. При
этом для любых начальных условий
существуют параметры С1,
С2,
определяемые из системы уравнений
.
Теорема 12.4.(о существовании и единственности решения задачи Коши)
Если дифференциальное
уравнение у"
= f(x,y,y')
таково, что функция f(x,y,y')
в некоторой области D
изменения своих аргументов непрерывна
и имеет непрерывные частные производные
,
то для любой точки
существует такой интервал
,
на котором существует и притом единственное
решение этого уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям
.
Определение 12.18.
Решение уравнения у" = f(x,y,y') называется частным решением, если в
каждой точке его сохраняется единственность решение задачи Коши. Оно получается из общего решения при конкретных значениях параметров С1 и С2.
Определение 12.19.
Решение уравнения второго порядка называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.
Замечание 1.2.3.
Рассмотрим уравнение
у"
= f(x,y,y').
Задача Коши состоит в нахождении решения
этого уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
при
.
Геометрически
это означает, что ищется интегральная
кривая, которая прходит через заданную
точку M0(x0,y0)
и имеет в этой точке заданную касательную,
образующую с положительным направлением
оси Ох
такой угол
,
что
.
Механический
смысл задачи
Коши заключается в следующем. Запишем
уравнение движения материяльной точки
в проекции на ось Ох:
.
Здесь t
– время,
- соответственно координата, проекции
скорости и ускорения на ось Ох
в момент t;
- проекция силы, действующей на точку,
на ось Ох.
Решение
этого уравнения называется движением
точки,
определяемое этим уравнением. Решение
задачи Коши заключается в определении
движения, удовлетворяющего начальным
условиям:
,
при
,
где числа
,
,и
есть соответственно начальный момент
времени, начальная координата и начальная
проекция скорости.
Пример 12.18.
Покажем, что
есть общее решение дифференциального
уравнения
.
Легко показать,
что
удовлетворяет данному уравнению при
любых
,
поскольку
,
откуда
.
Пусть заданны
произвлльные начальные условия
.
Покажем, что постоянные
можно подобрать так, что эти начальные
условия будут удовлетворены.
Составим систему
,
из которой однозначно определяются
,
.
Таким образом,
решение
удовлетворяет поставленным начальным
условиям. В силу определения 12.17 у= С1х
+ С2
есть общее решение уравнения
Пример 12.19.
Найдем область
существования и единственности задачи
Коши решения дифференциального уравнения
.
Функция f(x,y,y')
и ее частные производные
,
непрерывны при
.
Таким образом,
данное уравнение имеет единственное
решение при
и всех у,
для которых
.