1.4. Свойства функции

Определение 1.11.

Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если существует число М > 0 такое, что / f(х)/ М для всех х Х.

Определение 1.12.

Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если из того, что следует, что f( ) < f( ) (f( ) > f( )) для любых , Х.

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

Определение 1.13.

Функция f(х) называется четной (нечетной) на множестве Х, если f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)), где х, -х Х.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О).

Определение 1.14.

Функция f(х) называется периодической на множестве Х, если существует число Т > 0 такое, что f(x+T) = f(x), где х, х+Т Х.

Число Т называется периодом функции f(x).

Замечание 1.6.

Функция f(х)=/x/ не является ограниченной и монотонной на D(f), но при этом обладает свойством четности (см. пример 1.7). Функция f(x)=sn(x) ограниченна, монотонна и нечетна на D(f)(см. пример 1.8).

1.5. Способы задания функции

1. Аналитический способ.

При таком способе задания функции имеется аналитическая формула, которая связывает значения аргумента х с соответствующим значением функции у=f(x). Например, функции у=/х/ и у=sn(х) заданы аналитическим способом.

2. Графический способ.

В этом случае функция f(x) представлена своим графиком Г(f). Такой способ задания часто встречается в инженерно-технических науках, когда следующий за некоторым процессом прибор (например, осциллограф) строит график наблюдаемой функциональной зависимости.

III. Табличный способ.

Таким способом может быть задана функция f(х), имеющая область определения, состоящую из конечного множества чисел { }.

Тогда таблица

х			…
у			…

сопоставляет каждому значению аргумента соответствующее значение функции =f( ), k = 1, 2, … ,n.

1.6. Элементарные функции

Определение 1.15.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. постоянная функция f(x) = c, c /R;

2. степенная функция f(x) = , p /R {0};

3. показательная функция f(x) = а , а (0, + ) {1};

4. логарифмическая функция f(x) = , a (0, + ) {1};

5. тригонометрические функции f(x)=sin(х), f(x)=cos(х), f(x)=tg(x),f(x)= ctg(x);

6. обратные тригонометрические функции f(x)=arcsin х, f(x)=arccos х, f(x)=arctg x, f(x)=arcctg x.

Свойства и графики основных элементарных функций представлены в приложении 2.

Определение 1.16.

Пусть функция u = g(x) определена на множестве Х, а функция у = f(u) определена на множестве U, причем Е(g) U, тогда функция y = f(g(x)), определенная на множестве Х’ Х, называется сложной функцией или суперпозицией функций f и g.

Обозначение: f ◦ g.

Определение 1.17.

Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно примененных конечное число раз.

Пример 1.9.

f(x)= - многочлен степени n.

Пример 1.10.

f(x) = - рациональная функция ( - многочлены).

Пример 1.11.

f(x)= - иррациональная функция.

Пример 1.12.

f(x)= log - трансцендентная функция.

Замечание 1.7.

Функции f(x)=/x/, f(x)= sn(x) не являются элементарными функциями.