11.3. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Определение 11.4

Пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки x₀ производные любого порядка.

Ряд вида называется рядом Тейлора для функции f(x).

Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x₀ ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию f(x), то есть

= f(x), то функция f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ (или по степеням x-x₀).

Если x₀=0, то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена для функции f(x).

Теорема 11.3.

Для того чтобы функция y=f(x) была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x₀, необходимо и достаточно, чтобы , где R_n – остаточный член формулы Тейлора (остаточный член в форме Лагранжа имеет вид , ).

Теорема 11.4.

Если f(x) имеет в некотором промежутке, содержащем точку x₀, производные всех порядков, для которых |f⁽ⁿ⁾(x)|≤M, то функция f(x) разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

При разложении функции f(x) в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1. Непосредственное разложение f(x) в ряд Тейлора, которое состоит из трех этапов:

а) формально составляют ряд Тейлора, для чего находят f⁽ⁿ⁾(x) для любых n, вычисляют f⁽ⁿ⁾(x₀) и подставляют найденные значения в ряд;

б) находят область сходимости ряда Тейлора;

в) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда

, то есть, для каких x имеет место равенство:

2. Использование готовых разложений в ряд Маклорена:

а) /R;

б) /R;

в) /R;

г) /R;

д)

е) ;

ж) ;

Пример 11.6.

Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2. Решим эту задачу двумя способами.

I способ.

Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:

;

;

……………………………………………...

……………………………

Вычислим найденные производные в точке x=2:

.

Составим формально ряд Тейлора:

.

Найдем область сходимости ряда, используя признак Даламбера:

.

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, данный ряд сходится на всей числовой оси, то есть /R.

Докажем, что при всех x ряд сходится к , для чего достаточно показать, что при :

при .

Как результат решения задачи можем записать:

/R.

II способ.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки x=2, используя готовое разложение.

Преобразуем следующим образом:

.

В ряд Маклорена для cosx (формула в)) справа и слева вместо x подставим , тогда получим:

/R.

При разложении функции в ряд часто используют почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Пример 11.7.

Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=arctgx.

Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию , для чего в формуле ж) заменим x на , тогда получим

, откуда

.

Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения

12.1 Основные понятия и определения

Определение 12.1.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (дифференциальным уравнением) называется уравнение, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные

Порядком n уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Определение 12.2.

Уравнение называется дифференциальным уравнением n-го порядка в общем виде.

Уравнение называется дифференциальным уравнением n-го порядка в нормальной форме.

Определение 12.3.

Решением уравнения n-го порядка называется функция , непрерывная вместе со своими производными до порядка n включительно на некотором интервале (a;b) и обращающая данное уравнение в тождество.

График решения на плоскости xОy называется интегральной кривой.