6.7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
1) Интегралы вида
И
нтеграл
всегда сводится к интегралу от рациональной
дроби с помощью подстановки
.
Тогда .
Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены относительно sinx и cosx степени не более первой.
Пример 6.20.
Найдем интеграл
.
Сделаем подстановку
.
.
Заметим, что подстановка приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.
2) Интегралы вида .
Е
сли
имеет место тождество
, то удобнее сделать подстановку
.
Тогда
.
Пример 6.21.
Н
айдем
интеграл
.
Так как ,
то делаем подстановку , тогда
,
,
.
.
3) Интегралы вида ,
Для нахождения этих интегралов применяется подстановка sinx = t (cosxdx = dt) и cosx = t (-sinxdx = dt) соответственно.
П
ример
6.22.
Найдем интеграл .
С
делаем
подстановку:
.
4) Интегралы вида , m, n /N.
Интеграл берётся
понижением степени
с помощью формул:
.
П
ример
6.23.
Найдем интеграл .
.
5) Интегралы вида .
Х
отя
бы одно из чисел
– целое положительное и нечетное.
Например,
.
Имеем
.
Дальше можно
сделать подстановку:
.
П
ример
6.24.
Найдем интеграл I = .
6) Интегралы вида
Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:
П
ример
6.25.
Найдем интеграл .
6.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения.
1
)
Интегралы вида
.
И
нтеграл
берется с помощью подстановки
, где
– наименьший общий знаменатель дробей
,
i = .
П
ример
6.26.
Н
айдем
интеграл .
Дан интеграл
где N = 4. Сделаем подстановку:
.
.
2) Интегралы
вида
.
Интегралы рационализуются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок:
–
подстановка:
;
–
подстановка:
;
–
подстановка:
.
Пример 6.27.
Найдем интеграл
.
Сделаем подстановку:
.
,
=
=
.
3) Интегрирование дифференциальных биномов.
Д
ифференциальным
биномом
называется выражение .
Интегралы вида берутся в элементарных функциях только в следующих трёх случаях:
а)
–
целое;
б
)
– целое.
В
этом случае делается подстановка:
,
где ;
в) – целое.
Подстановка:
.
П
ример
6.28.
Найдем интеграл .
.
Здесь
, поэтому имеет место второй
случай. Подстановка:
,
.
П
ример
6.29.
Найдем интеграл .
.
З
десь
m = 0, n = 4, p = –
,
, поэтому имеем третий
случай.
Подстановка:
,
=
=
=
4) Интегралы вида .
Интегралы берутся с помощью подстановок Эйлера.
а) Если
,
то применяется первая подстановка
Эйлера:
;
б) Если
,
то делается вторая подстановка Эйлера:
;
в
)
Если
имеет различные двещественные корни
x1
и x2,
то применяется третья подстановка
Эйлера: .
П
ример
6.30.
Найдем интеграл .
Так как
,
то применим первую подстановку Эйлера:
,
.
–
.