1.2. Операции над множествами

Определение 1.4.

Говорят, что множество А содержится в множестве В, если любой элемент множества А является элементом множества В. Такая операция называется включением.

Обозначение: А В.

Рис. 1.1

Замечание 1.3.

Для числовых множеств можно записать цепочку включений: /N Z Q /R.

Определение 1.5.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов обоих множеств.

Обозначение: А В.

Рис. 1.2

Определение 1.6.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат, по крайней мере, одному из множеств А или В.

Обозначение: А В.

Рис. 1.3

Определение 1.7.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

О бозначение: А В.

Рис. 1.4

Пример 1.6.

Рассмотрим множества А = (0, 4], B = (2, 5), тогда:

А В = (2, 4], А В = (0, 5), А В = (0, 2], B A = (4, 5).

1.3. Функция одной переменной. Основные определения

Определение 1.8.

Пусть Х, У – числовые множества. Правило f, по которому каждому элементу х Х сопоставляется единственный элемент у У, называется функцией, заданной на множестве Х, и обозначается f или f(x).

При этом множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f), а элемент х Х называется независимой переменной или аргументом.

Множество всех значений y = f(x), которые принимает функция, когда аргумент пробегает все множество Х, называется областью значений функции f и обозначается E(f), а элемент y = f(x) Y называется зависимой переменной или значением функции.

Замечание 1.4.

В некоторых случаях правило f может сопоставлять элементам множества Х не один, а несколько элементов множества У. Такая функция называется многозначной в отличие от однозначной функции, определенной выше.

Далее будут рассматриваться только однозначные функции.

Определение 1.9.

Множество точек плоскости {(x, y) : x D(f), y=f(x)} называется графиком функции f(x).

Обозначение: Г(f).

П ример 1.7.

Рассмотрим функцию f(x) = /x/ =

Такая функция называется модулем или абсолютной величиной числа.

D(f) = /R, E(f) = [0, + ).

Г

у

рафик такой функции имеет вид:

х

0

Рис. 1.5

П ример 1.8.

Функция f(x)=sn(x)=

называется знаком числа.

D(f) = /R {0}, E(f) = {-1; 1}.

Г

у

рафик этой функции представлен на рисунке 1.6.

1

х

0

-1

Рис. 1.6

Определение 1.10.

Рассмотрим функцию f: X Y. Пусть для любого элемента у У существует элемент х Х такой, что y=f(x), тогда правило, по которому элементу у У сопоставляется тот самый элемент х Х, называется обратной функцией для функции f(x) и обозначается или (у).

Замечание 1.5.

Рассмотрим функцию f(х) и обратную функцию (у), тогда имеем y=f(x), х= (у). Если во втором равенстве поменять местами х и у, то получим пару функций y = f(x), y = f^-1(x). Такие функции называются взаимообратными. Графики этих функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.