5.3. Частные производные функции

Определение 5.8.

Пусть функция u=f(x₁,x₂,…,x_n) задана в некоторой окрестности точки M₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).

Частной производной функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k в точке M₀ называется производная функции f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k,…,x_n⁰) в точке х_к⁰.

Обозначение:

(Другие обозначения: ).

Определение 5.9.

1. Приращением аргумента x_k в точке x_k⁰ называется выражение .

2. Частным приращением функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k в точке

M₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) называется выражение f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k⁰+ ,…,x_n⁰) -

- f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_k⁰,…,x_n⁰), которое обозначается .

Таким образом, .

Замечание 5.5.

Если частная производная функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k существует для всех точек некоторого множества Х, то сопоставив каждой точке значение , получим функцию n переменных, которая называется частной производной функции f(x₁,x₂,…,x_n) по аргументу x_k и обозначается f'_xk.

(Другие обозначения: ).

Вычисления частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Пример 5.2.

Вычислим частные производные функции .

При нахождении частной производной по аргументу x исходную функцию рассматриваем как функцию одной переменной x при фиксированном значении переменной .

Повторим ту же процедуру, меняя роли x и .

Пример 5.3.

Частные производные функции трёх переменных выражаются следующим формулами:

5.4.Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Пусть функция z=f(x,y) имеет частные производные в точке M₀(x₀,y₀) и пусть график этой функции представлен некоторой поверхностью (G) (рис. 5.4).

рис.5.4.

Рассечём поверхность (G) плоскостью y=y₀. Графиком функции z=f(x,y₀) является кривая (Г_x) на этой поверхности. Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной , где -угол наклона касательной к графику (Г_х) функции f(x,y₀) в точке (x_0,y₀,f(x₀,y₀)).

Аналогично , где β- угол наклона касательной к графику (Г_y) функции f(x,y₀) в точке (x_0,y₀,f(x₀,y₀). В этом и состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

5.5 Дифференциал функции двух переменных

Определение 5.10.

Пусть функция z=f(x,y) задана в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀).

Полным приращением функции f(x,y) в этой точке называется выражение .

Теорема 5.1.

Если функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке М₀(х₀,у₀), то верна следующая формула: где .

Определение 5.11.

Дифференциалом функции f(x,y) в точке М₀ (х₀,у₀) называется линейная функция относительно двух аргументов .

Обозначение: . (Другое обозначение: dz).

С учетом введённого понятия дифференциала формула из теоремы 5.1 может быть записана следующим образом: или в развёрнутом виде .

Замечание 5.6.

Отбросив в последнем равенстве слагаемое , получим приближённое равенство . Его можно использовать для вычисления приближенного значения при малых , если известны значения , .

Пример 5.4.

Вычислим приближенно .

Для этого рассмотрим функцию f(x, y)= . Возьмем число х₀ = 3, близкое к х = 3,05, и число у₀ = 7, близкое к у = 7,15, тогда х = х – х₀ = 0,05, у = у – у₀ = 0,15.

Найдем частные производные функции f(x, y):

f'_x = , f'_y = , откуда f'_x(3; 7) = 0,75, f'_y(3; 7) = 0,125.

Таким образом,

+ 0,75·0,05+0,125·0,15 = 4,05625.