3.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 3.8.

Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке Х. Если f'(x) имеет

производную в точке х Х, то эта производная называется производной второго порядка или второй производной функции f(x) в точке х.

Обозначение: f''(x) = (f'(x))'.

(Другие обозначения: у'', ).

Аналогично можно ввести понятия производных третьего, четвертого, пятого порядков и т.д.

Производные начиная со второй называются производными высших порядков и обозначаются f''(x), f'''(x), f ⁽⁴⁾(x), f ⁽⁵⁾(x),…, f ⁽ⁿ⁾(x)… или у'', у''', у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾,…, у⁽ⁿ⁾,… .

Производная n-го порядка в точке х определяется, таким образом, как производная от производной (n-1)-го порядка, то есть f ⁽ⁿ⁾(x)= (f ^(n-1)(x))'.

Пример 3.10.

Найдем производные первых трех порядков функции у = 4х³ - 3х² + 2х – 5. Последовательным дифференцированием получаем у' = 12х² - 6х + 2, у'' = 24х - 6, у''' = 24.

Пример 3.11.

Найдем производную n-го порядка функции y = sin x. Имеем

у'=cos x= sin (x+ ),

у'' = cos (x+ )= sin (x+2 ),

у''' = cos (x+2 )= sin (x+3 ),

у⁽⁴⁾ = cos (x+3 )= sin (x+4 ), ….

Используя метод математической индукции, получим у⁽ⁿ⁾ = cos (x+(n-1) )= sin (x+n ).

Определение 3.9.

Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке Х. Рассмотрим дифференциал df(x) = f'(x)Δx как функцию от х, считая Δx постоянным.

Если функция f'(x)Δx дифференцируема в точке х, то дифференциал этой функции в той же точке называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х.

Обозначение: d²f(x) = d(df(x)).

(Другое обозначение: d²y).

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого, пятого порядков и т.д. Они обозначаются символами d³f(x), d⁴f(x), d⁵f(x),…, dⁿf(x),… или d³y, d⁴y, d⁵y,…, dⁿy, ….

Замечание 3.3.

Можно показать, что для дефференциала произвольного n-го порядка имеет место формула dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(Δx)ⁿ или по-другому dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных

4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 4.1. (Ферма́).

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точке. Если функция f(x) принимает в точке х₀ наименьшее или наибольшее значение, то f'(х₀) = 0.

Теорема 4.2. (Ролля)

Если функция f(x) удовлетворяет условиям:

1. определена и непрерывна на отрезке [a, b],

2. дифференцируема на интервале (a, b),

3. f(а) = f(b),

то существует хотя бы одна точка с (a, b) такая, что f'(с) = 0.

Замечание 4.1. (геометрический смысл теоремы Ролля).

Если для функции f(x) выполнены условия теоремы Ролля, то на кривой у= f(x) найдется по крайней мере одна точка М₀ (с, f(с)), касательная в которой к рассматриваемой кривой будет параллельна оси Ох (рис. 4.1).

.

М₀

y

y = f(x)

f(a) = f(b)

b

c

a

x

0

рис. 4.1.

Теорема 4.3. (Лагранжа).

Пусть функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) определена и непрерывна на отрезке [a, b],

2) дифференцируема на интервале (a, b),

тогда существует хотя бы одна точка с (a, b) такая, что f(b) – f(a) = f'(с)(b-a).

Данная формула называется формулой Лагранжа.

Замечание 4.2. (геометрический смысл теоремы Лагранжа).

Перепишем формулу Лагранжа в виде .

М₀

В

Формула Лагранжа гарантирует, что на кривой у = f(x) между точками А(a,f(a)) и B(b, f(b)) найдется по крайней мере одна точка М₀(с, f(c)), касательная в которой параллельна секущей АВ (рис.4.2.). Тангенс угла наклона касательной равен .

у

y = f(x)

А

х

О

рис.4.2.