- •Неопределенный интеграл
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Метод замены переменных
- •Сведения из теории
- •Метод подведения под дифференциал
- •Метод подстановки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Основные понятия
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование правильных рациональных дробей
- •Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тригонометрические интегралы
- •Сведения из теории
- •Интегралы вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •7.1. Сведения из теории
- •7.1.1. Интегралы вида ,
- •7.1.2. Интегралы вида
- •7.1.3. Интегралы вида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Интегрирование некоторых иррациональных функций
7.1. Сведения из теории
Далее будем обозначать – рациональную функцию аргументов .
7.1.1. Интегралы вида ,
где – целые числа, с помощью подстановки где n – общий знаменатель дробей сводятся к интегралам от рациональных функций переменной t.
7.1.2. Интегралы вида
; (7.1)
; (7.2)
(7.3)
с помощью тригонометрических подстановок, соответственно,
в (7.1), в (7.2) и в (7.3)
приводятся к тригонометрическим интегралам вида , рассмотренным в п.6.
7.1.3. Интегралы вида
Выделив полный квадрат в квадратном трёхчлене
и сделав замену переменных , получим интеграл одного из видов (7.1), (7.2) или (7.3).
Примеры решения задач
Вычислить .
◄
. ►
Вычислить .
◄ =
. ►
Вычислить .
◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид (7.1). Поэтому делаем тригонометрическую подстановку , .
=
►
Вычислить .
◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид (7.2). Поэтому делаем тригонометрическую подстановку , .
=
. ►
Вычислить , .
◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид (7.3). Поэтому делаем тригонометрическую подстановку ( .
. Произведем обратную замену:
. ►
Вычислить .
◄
.►
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы от иррациональных функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Библиографический список
Дифференциальное исчисление функций одной переменной : метод. указания / сост.: В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова, С.А. Кривелевич, О.Н. Колесников. – Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2007. – 39 с. – № 2688.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учебник для втузов : в 2 т. – М.: Интеграл-Пресс, 2001.
Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М. : Наука, 1980. – 342 с.
Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М. : Высш. шк., 1981. – 250 с.
Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под редакцией А.В. Ефимова и В.П. Демидовича. – М. : Наука, 1981. – 462 с.
Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М. : Наука, 1969. – 800 с.
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч.: Учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М. : Высш. шк., 1999.
Ответы
1.3.1. ; |
1.3.2. ; |
1.3.3. ; |
1.3.4. ; |
1.3.5. ; |
1.3.6. ; |
1.3.7. ; |
1.3.8. ; |
1.3.9. ; |
1.3.10. ; |
1.3.11. ; |
1.3.12. ; |
1.3.13. ; |
1.3.14. ; |
1.3.15. ; |
1.3.16. ; |
2.3.1. ; |
2.3.2. ; |
2.3.3. ; |
2.3.4. ; |
2.3.5. ; |
2.3.6. ; |
2.3.7. ; |
2.3.8. ; |
2.3.9. ; |
2.3.10. ; |
2.3.11. ; |
2.3.12. ; |
2.3.13. ; |
2.3.14. ; |
2.3.15. ; |
2.3.16. ; |
2.3.17. ; |
2.3.18. ; |
2.3.19. ; |
2.3.20. ; |
2.3.21. ; |
2.3.22. ; |
2.3.23. ; |
2.3.24. |
2.3.25. ; |
2.3.26. ; |
2.3.27. ; |
2.3.28. ; |
2.3.29. ; |
2.3.30. ; |
2.3.31. ; |
2.3.32. ; |
2.3.33. ; |
2.3.34. ; |
2.3.35. ; |
2.3.36. ; |
2.3.37. ; |
2.3.38. ; |
2.3.39. ; |
2.3.40. ; |
2.3.41. , |
2.3.42. , |
2.3.43. , ; |
2.3.44. , ; |
2.3.45. , ; |
2.3.46. , ; |
2.3.47. , |
2.3.48. , |
3.3.1. ; |
3.3.2. ; |
3.3.3. ; |
3.3.4. ; |
3.3.5. ; |
3.3.6. ; |
3.3.7. ; |
3.3.8. ; |
3.3.9. ; |
3.3.10. ; |
3.3.11. ; |
3.3.12. ; |
3.3.13. ; |
3.3.14. ; |
3.3.15. ; |
3.3.16. ; |
4.3.1. ; |
4.3.2. ; |
4.3.3. ; |
4.3.4. ; |
4.3.5. |
4.3.6. ; |
4.3.7. ; |
4.3.8. ; |
4.3.9. ; |
4.3.10. ; |
5.3.1. ; |
5.3.2. ; |
5.3.3. ; |
5.3.4. ; |
5.3.5. ; |
5.3.6. ; |
5.3.7. ; |
5.3.8. ; |
6.3.1. ; |
6.3.2. ; |
6.3.3. ; |
6.3.4. ; |
6.3.5. ; |
6.3.6. ; |
6.3.7. ; |
6.3.8. ; |
6.3.9. ; |
6.3.10. ; |
6.3.11. ; |
6.3.12. ; |
6.3.13. ; |
6.3.14. ; |
6.3.15. ; |
6.3.16. ; |
6.3.17. ; |
6.3.18. ; |
6.3.19. ; |
6.3.20. ; |
6.3.21. ; |
6.3.22. ; |
6.3.23. ; |
6.3.24. ; |
7.3.1. ; |
7.3.2. ; |
7.3.3. , при ; |
7.3.4. ; |
7.3.5. ; |
7.3.6. ; |
7.3.7. ; |
7.3.8. ; |
7.3.9. ; |
7.3.10. ; |
7.3.11. ; |
7.3.12. ; |
7.3.13. ; |
7.3.14. ; |
7.3.15. ; |
7.3.16. ; |