3. Интегрирование правильных рациональных дробей

Метод интегрирования состоит в разложении правильной дроби в сумму простейших дробей и почленном интегрировании этой суммы:

а) сначала находится разложение знаменателя на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом

;

б) по этому разложению находится вид разложения правильной дроби в сумму простейших

(5.5)

;

с) коэффициенты в этом разложении находятся из уравнений, получающихся при приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях x у многочлена и многочлена, который получается в числителе правой части равенства (5.5) после её к общему знаменателю (см. задачи 5.2.2 и 5.2.3).

Другой приём нахождения коэффициентов состоит в том, что после приравнивания числителей левой и правой частей равенства (5.5) полагают переменную x равной различным числам, в первую очередь, корням знаменателя (см. задачу 5.2.1).

4. Интегрирование неправильных рациональных дробей

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. задачу 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.

2. Примеры решения задач

5.2.1. Вычислить .

◄ Рассматриваемая дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Знаменатель дроби разложим на линейные множители:

.

Теперь ищем разложение дроби на сумму простейших в виде

,

где A, B и C подлежат определению. Множителю x в знаменателе соответствует простейшая дробь , множителю – дробь , множителю – дробь .

Для нахождения A, B и C приведём правую часть к общему знаменателю

.

Так как знаменатели дробей, стоящих слева и справа одинаковые, то должны быть равны и числители:

.

Полагая в этом тождестве x равным корням знаменателя, получаем уравнения для нахождения А, В и С:

Итак,

.

.►

5.2.2. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная. Её знаменатель разлагается на линейные множители

.

Поэтому разложение дроби в сумму простейших имеет вид

. (5.6)

Здесь первые три слагаемых соответствуют множителям x (их три), а четвёртое – множителю . Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю , и приравниваем числители

или

.

Для нахождения неизвестных A, B, C, D используем равенство коэффициентов при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих справа и слева от знака равенства.

Поставляя найденные значения A, B, C, D в (5.6) и интегрируя, получаем

.►

5.2.3. Вычислить .

◄ Дробь правильная. Знаменатель разлагается в произведение линейного и квадратичного множителей: .

Квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант и на линейные множители не разлагается. Поэтому

.

Освободимся от знаменателя и найдём A, B и С, используя те же приёмы, что и в предыдущих примерах.

, ,

. ►

5.2.4. Вычислить .

◄Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, поэтому её надо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, выполнив деление многочлена (числителя дроби) на многочлен (знаменатель дроби).

Получаем . Дробь правильная. Её можно представить в виде суммы двух простейших дробей (выкладки мы опустили). Поэтому

=

. ►