- •Неопределенный интеграл
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Метод замены переменных
- •Сведения из теории
- •Метод подведения под дифференциал
- •Метод подстановки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Основные понятия
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование правильных рациональных дробей
- •Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тригонометрические интегралы
- •Сведения из теории
- •Интегралы вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •7.1. Сведения из теории
- •7.1.1. Интегралы вида ,
- •7.1.2. Интегралы вида
- •7.1.3. Интегралы вида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы, используя таблицу интегралов и свойства 1-3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод замены переменных
Сведения из теории
Существует два варианта этого метода.
Метод подведения под дифференциал
Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде (это преобразование называется подведением функции под знак дифференциала d). Тогда
, (2.1)
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную u на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным.
Метод подстановки
Пусть функция имеет непрерывную производную и обратную функцию . Тогда
, (2.2)
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию t(x).
При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий справа, может оказаться «проще» исходного.
Примеры решения задач
Далее знак будет означать ссылку на табличный интеграл с номером N.
Вычислить .
◄ . Под знаком интеграла стоит степень функции
, поэтому удобно подвести под знак дифференциала:
,
. ►
Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал , то . Поэтому
. ►
Вычислить .
◄ Так как , то и
.►
Вычислить .
◄ Так как , то
. ►
Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала : .
. ►
Вычислить .
◄Так как , то
.►
Вычислить .
◄ Поскольку , то
. ►
Вычислить .
◄ . ►
Вычислить .
◄
. ►
Вычислить .
◄
. ►
Вычислить .
◄ .►
Вычислить .
◄
. ►
Замечание. В примерах 2.2.1-2.2.12 после замены функции на новую переменную u получались табличные интегралы. Обычно в таком случае эту замену делают мысленно, не оформляя ее письменно.
Вычислить .
◄ Сделаем замену переменной – подстановку . Тогда и . По формуле (2.2) получим
.►
Вычислить .
◄ Обозначим . Тогда , . По формуле (2.2)
. ►
Вычислить .
◄ Обозначим . Тогда . По формуле (2.2)
.
Замечание. Интеграл можно вычислить и иначе. Согласно п. 5
. ►