3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы от рациональных дробей.

3. Тригонометрические интегралы

1. Сведения из теории

1. Интегралы вида

. (6.1)

Символом здесь обозначена рациональная функция аргументов u и v – отношение многочленов от этих переменных.

Этот интеграл с помощью «универсальной подстановки»

сводится к интегралу от рациональной функции переменной t. При этом используются формулы:

(6.2)

К сожалению, рациональная дробь получается обычно громоздкой. В этих случаях следует постараться использовать специфику конкретной задачи. Например, если и входят в подынтегральную функцию в чётных степенях или в виде отношения , то удобно сделать подстановку , ибо в этом случае

рационально выражаются через t.

2. Интегралы вида ,

где хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

Пусть, например, – нечетно. Тогда

(замена ) ,

то есть интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степеней.

3. Интегралы вида , где m и n четные целые числа

Если m и n четные целые положительные числа, то используем формулы понижения степени

(6.4)

4. Интегралы от произведений синусов и косинусов

различных аргументов

Для их вычисления используются тригонометрические формулы

, (6.5)

, (6.6)

. (6.7)

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Сделаем универсальную подстановку . Используя формулы (6.2), получаем

.►

2. Вычислить .

◄

►

3. Вычислить .

◄

►

4. Вычислить .

◄ Так как и входят в подынтегральную функцию в чётных степенях, то можно сделать подстановку , . Используя формулы (6.3), получаем

►

5. Вычислить .

◄

►

6. Вычислить .

◄

.►

7. Вычислить .

◄Используем то обстоятельство, что косинус стоит в нечётной степени.

= .►

8. Вычислить .

◄ Для вычисления этого интеграла от произведения синуса и косинуса в чётных степенях используем формулы понижения степени (6.4).

. ►

9. Вычислить .

◄ Используем формулу (6.7):

►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы.

.	.