- •Неопределенный интеграл
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Метод замены переменных
- •Сведения из теории
- •Метод подведения под дифференциал
- •Метод подстановки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Основные понятия
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование правильных рациональных дробей
- •Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тригонометрические интегралы
- •Сведения из теории
- •Интегралы вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •7.1. Сведения из теории
- •7.1.1. Интегралы вида ,
- •7.1.2. Интегралы вида
- •7.1.3. Интегралы вида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывести формулу 16 таблицы интегралов, используя преобразование и интегрирование по частям.
Вывести формулы 17 и 18 таблицы интегралов.
Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
Сведения из теории
Для вычисления интегралов вида
и
из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат
и делается замена переменных .
Примеры решения задач
Вычислить .
◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:
.
Сделаем в интеграле подстановку . Тогда , ,
=
(используем табличные интегралы 2 и 10) = . ►
Вычислить .
◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене
►
Вычислить .
◄ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:
.
. ►
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование рациональных дробей
Основные понятия
Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов
Если , то дробь называется правильной, если то неправильной.
Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.
; (5.1)
; (5.2)
; (5.3)
, . (5.4)
Интегрирование простейших рациональных дробей
Дроби типов (5.1) и (5.2) интегрируются просто:
;
.
Метод интегрирования простейших дробей типа (5.3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (5.4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.