5.1. Задачи.

Привести к нормальной жордановой форме матрицы линейных операторов:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

2. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах.

6.1. Нормальный оператор.

Наличие ортонормированного базиса в унитарном пространстве и базиса из собственных векторов линейного оператора имеют принципиальное значение при выполнении различных исследований. Поэтому основной задачей при рассмотрении линейных операторов в унитарных пространствах является изучение того класса операторов, которые в унитарном пространстве имеют ортонормированный базис из собственных векторов.

Определение 1. Пусть - произвольное унитарное пространство и - операторы, действующие в . Оператор называется сопряженным к линейному оператору А, если

,

где - скалярное произведение вектора на вектор .

Для всякого линейного оператора А существует единственный линейный сопряженный оператор . Их матрицы в любом ортонормированном базисе пространства связаны соотношением

.

Определение 2. Линейный оператор А, действующий в , называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным оператором, т. е.

.

Оказывается, что оператор А имеет ортонормированный базис из собственных векторов тогда и только тогда, когда он является нормальным. При этом ортонормированные системы собственных векторов операторов А и совпадают, а собственные значения, соответствующие одному и тому же собственному вектору, комплексно сопряжены.

Частными случаями нормальных операторов являются:

1.Унитарный оператор, для которого или . Оператор является унитарным тогда и только тогда, когда

.

Все собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1. Всякая ортонормированная система векторов пространства переводится унитарным оператором в ортонормированную систему векторов. Матрица унитарного оператора удовлетворяет условию

.

Такие матрицы называются унитарными.

В случае вещественного евклидова пространства и матрица унитарного (ортонормированного) оператора удовлетворяет соотношению

.

Таким образом, столбцы данной матрицы ортонормированны. Например, ортонормированной матрицей второго порядка является следующая матрица

.

2. Самосопряженный оператор. Этот оператор совпадает со своим сопряженным, т. е.

.

Матрица самосопряженного оператора удовлетворяет условию

.

Такие матрицы называются эрмитовыми. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

В случае евклидова пространства самосопряженный оператор переходит в симметричный оператор, матрица которого является симметричной, т. е.

.

Определение 3. Самосопряженный оператор Н называется положительно (неотрицательно) определенным, если

.

Всякий самосопряженный оператор положительно определен тогда и только тогда, когда его собственные значения положительны. Для любого оператора А операторы и являются неотрицательно определенными.

6.2. Приведение матрицы нормального оператора к диагональному виду

Так как для всякого нормального оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов, то матрица всякого нормального оператора может быть приведена к диагональному виду соотношением

.

Все отличие от общего случая состоит в том, что теперь матрица перехода С (матрица из координат собственных векторов) должна быть выбрана так, чтобы ее столбцы были ортонормированны, т. е. теперь С – унитарная матрица. Тогда общее соотношение перепишется в виде

Полезно помнить, что всякий матричный многочлен

от матрицы имеет те же собственные векторы, что и матрица , а соответствующие собственные значения равны

.

Например, матрица

.

Пример. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

.

Матрица является симметричной, поэтому искомый базис заведомо существует. Для нахождения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение

,

откуда собственные значения кратности и кратности . Поэтому диагональная матрица оператора в базисе из собственных векторов

.

Для нахождения базиса составляем и решаем системы уравнений . При имеем

Нормированное решение этой системы вектор

.

При имеем

.

Линейно независимые решения этого уравнения

.

Применяя к векторам процедуру ортогонализации Грама–Шмидта, получим еще два ортонормированных собственных вектора

.

Тогда матрица перехода С имеет вид

.