4.1. Задачи

Линейный оператор А задается в базисе

матрицей

Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.

2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.

3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей

4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.

Каноническая форма жордана

Определение 1. -мерной жордановой клеткой, соответствующей числу  называется треугольная матрица вида

Определение 2. Говорят, что матрица линейного оператора действующего в - мерном пространстве имеет нормальную жорданову форму, если вдоль ее главной диагонали расположены жордановы клетки, а остальные элементы нули

где , а - собственные значения оператора. Не исключена возможность, что в матрице для некоторых номеров или .

Базис пространства Х, в котором матрица оператора А имеет нормальную жорданову форму, называется каноническим.

В - мерном комплексном пространстве для каждого линейного оператора А существует базис, в котором матрица имеет нормальную жорданову форму. При переходе к другому каноническому базису матрица оператора сохраняется с точностью до перестановки клеток. Нормальная жорданова форма является простейшей формой, к которой может быть приведена матрица произвольного оператора.

Построение нормальной жордановой формы состоит из следующих этапов:

1. Составляется и решается характеристическое уравнение , определяются собственные значения оператора и их кратности .

2. Для каждого собственного значения подсчитывается число соответствующих ему жордановых клеток различной размерности по формуле:

где - ранг матрицы . Простым собственным значениям соответствуют жордановы клетки единичной размерности.

3. После того, как число клеток разной размерности, соответствующих различным собственным значениям определено, записывается нормальная жорданова форма с точностью до перестановки клеток. Канонический базис при этом остается неопределенным.

Пример. Привести к нормальной жордановой форме матрицу оператора: