3.1.Оператор простой структуры.
Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид
,
где
-
собственные значения оператора. Очевидно,
что верно и обратное: если в некотором
базисе пространства Х матрица оператора
имеет диагональный вид, то базис состоит
из собственных векторов оператора.
Линейный
оператор А является оператором простой
структуры тогда и только тогда, когда
каждому собственному значению
кратности
соответствует ровно
линейно независимых собственных
векторов. Так как собственные векторы
есть решения системы уравнений
то, следовательно, каждому корню
характеристического уравнения
кратности
,
должна соответствовать матрица
ранга
.
Всякая
матрица
размера
,
соответствующая оператору простой
структуры, подобна диагональной матрице
,
где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).
Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду
.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.
Откуда
собственные значения
кратности
и
кратности
.
Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются
решением системы
Ранг
данной системы равен 3, поэтому имеется
только одно независимое решение,
например, вектор
.
Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений
ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,
,
,
.
Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид
и связь между подобными матрицами и определяется соотношением
=
.
3.2. Задачи
Найти собственные векторы и собственные значения
линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:
7.
8.
9.
10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.
11.
Доказать, что если линейный оператор
А, действующий в
, имеет n
различных значений, то любой линейный
оператор В перестановочный с А, обладает
базисом собственных векторов, причем
любой собственный вектор А будет
собственным и для В.
Инвариантные подпространства
Определение
1..
Подпространство L
линейного пространства X
называется инвариантным относительно
оператора А, действующего в X,
если для каждого вектора
его образ
также принадлежит
.
Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:
1.
Если
и
являются инвариантными подпространствами
относительно оператора А, то их сумма
и пересечение
также инвариантны относительно оператора
А.
2.
Если пространство Х разлагается в прямую
сумму подпространств
и
(
)
и
инвариантно относительно А, то матрица
оператора в базисе, который является
объединением базисов
и
есть блочная матрица
,
где
- квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.
3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
Пример
1. Рассмотрим
ядро
некоторого оператора А, действующего
в Х. По определению
.
Пусть
.
Тогда
,
так как нулевой вектор содержится во
всяком линейном подпространстве.
Следовательно, ядро
- инвариантное относительно А
подпространство.
Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей
.
Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.
Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.
Составим и решим характеристическое уравнение
.
Откуда
собственные значения
кратности
и
кратности
.
Первое собственное значение простое.
Соответствующий ему собственный вектор
определяется системой уравнений
решая которую получим,
например,
.
Собственные векторы для определяются уравнением
,
имеющим
два линейно независимых решения,
например,
и
.
Таким образом, в нашем случае существует
базис из собственных векторов.
Пусть
теперь
.
Тогда вектор
.
Воспользовавшись теперь определением
инвариантного подпространства, получим,
что инвариантными будут следующие
подпространства:
1.
Прямая с базисным вектором
.
2.
Прямые с базисными векторами
и
.
3.
Линейная оболочка векторов
,
т.е. плоскость, задаваемая уравнением
.
4.
Линейные оболочки векторов
и
.
5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.