Ізоморфні графи Поняття ізоморфізму графів

Графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂) називаються ізоморфними, якщо існує така бієкція h:V₁V₂, що u,vV₁ (u,v)E₁(h(u),h(v))E₂. Бієкція (взаємно однозначне відображення) h називається ізоморфізмом графів G₁ та G₂.

Наприклад, графи G₁=({a,b,c,d},{(a,c),(b,c),(c,d)}) та G₂=({1,2,3,4}, {(1,2),(1,3),(1,4)}) ізоморфні, оскільки існує таке взаємно однозначне відображення h множини {a,b,c,d} у множину {1,2,3,4}, а саме: h={<a,3>,<b,2>,<c,1>,<d,4>}, що для будь-яких вершин u та v графу G₁ пара (u,v) є ребром графу G₁ тоді й тільки тоді, коли пара (h(u),h(v)) є ребром графу G₂. Дійсно, розглянемо ребро (а,с) графу G₁. З означення відображення h маємо: h(а)=3, h(с)=1. Пара (1,3) є ребром графу G₂. Для кінців ребра (b,c) графу G₁ маємо: h(b)=2, h(c)=1. Пара (1,2) є ребром графу G₂. Для ребра (c,d) графу G₁ маємо: h(с)=1, h(d)=4. Пара (1,4) є ребром графу G₂. Тепер розглянемо ребра графу G₂, знайдемо прообрази кінців кожного ребра при відображенні h й перевіримо, чи є кожна пара цих прообразів ребром графу G₁. Кінці ребра (1,2) мають такі прообрази: h^-1(1)=c, h^-1(2)=b. Пара (b,c) є ребром графу G₁. Для ребра (1,3) маємо: h^-1(1)=c, h^-1(3)=а; пара (а,с) є ребром графу G₁. Для ребра (1,4) маємо: h^-1(1)=c, h^-1(4)=d; пара (c,d) є ребром графу G₁. Таким чином, умова ізоморфності для графів G₁ та G₂ виконується, отже, G₁ та G₂ ізоморфні.

Наведемо приклад графів, що не є ізоморфними. Розглянемо графи G та H (рис.6). Покажемо, що ці графи не ізоморфні. Скориста-ємося методом доведення від супротивного. Припустимо, що G та H ізоморфні. Тоді має існувати таке взаємно однозначне відображення h:{1,2,3,4}{1,2,3,4}, що u,vV₁ (u,v)E₁(h(u),h(v))E₂, де V₁ – множина вершин графу G, E₁ – множина ребер графу G, а E₂ – множина ребер графу H. Вершина 4 графу H має бути образом деякої вершини графу G (позначимо цю вершину w). Зауважимо, що вершина w має принаймні одне інцидентне ребро (позначимо його (w,s)), адже у графі G є лише вершини степеня 1 або 2. Тоді у графі H має бути ребро (h(w),h(s)). За нашим припущенням h(w)=4. Таким чином, виходить, що у графі H має бути ребро, що інцидентне вершині 4, але це неможливо, адже вершина 4 ізольована у графі H. Отже, маємо суперечність, а це означає, що наше припущення про ізоморфність графів G та H не правильне. Таким чином, графи G та H не ізоморфні.

а)	б)
Рис. 6

Властивості ізоморфних графів

Твердження 7. Якщо графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂) ізоморфні, то |V₁|=|V₂| та |E₁|=|E₂|.

Доведення. Оскільки графи G₁ й G₂ ізоморфні, то існує бієкція h:V₁V₂, а це означає, що |V₁|=|V₂|. Щоб довести рівність |E₁|=|E₂|, побудуємо бієкцію f:E₁E₂. Оскільки G₁ й G₂ ізоморфні, то (u,v)E₁(h(u),h(v))E₂. Визначимо відображення f:E₁E₂ таким чином: f((u,v))=(h(u),h(v)).Покажемо, що f – бієкція. Для цього достатньо довести, що відображення f ін’єктивне та сюр’єктивне. Нехай (u₁,v₁) та (u₂,v₂) – різні ребра графу G. Покажемо, що ребра f((u₁,v₁)) та f((u₂,v₂)) також різні. Припустимо супротивне, тобто f((u₁,v₁))=f((u₂,v₂)). Маємо: f((u₁,v₁))=(h(u₁),h(v₁))=f((u₂,v₂))=(h(u₂),h(v₂)). Це означає, що виконується одна з умов: 1) h(u₁)=h(u₂), h(v₁)=h(v₂), 2) h(v₁)=h(u₂), h(u₁)=h(v₂). Розглянемо перший випадок. Оскільки h – бієкція, то u₁=u₂, v₁=v₂, отже, (u₁,v₁)=(u₂,v₂), що суперечить умові. У другому випадку маємо: v₁=u₂, u₁=v₂, але тоді ребра (u₁,v₁) та (u₂,v₂) однакові, що суперечить умові. Отже, f ін’єктивне. Покажемо сюр’єктивність f. Нехай (u,v)E₂. Оскільки відображення h сюр’єктивне, то існують такі u₁ та v₁, що h(u₁)=u, h(v₁)=v. Отже, (u,v)=(h(u₁),h(v₁)) для деяких u₁, v₁ з множини V₁. Оскільки G₁ та G₂ ізоморфні, то (h(u₁),h(v₁))E₂  (u₁,v₁)E₁, але (h(u₁),h(v₁))=f((u₁,v₁)), отже, довільний елемент множини E₂ має непорожній прообраз при відображенні f, тобто f сюр’єктивне. Твердження доведено.

Нехай A_G – матриця суміжності нетривіального графу G порядку n. Узгодженою перестановкою рядків та стовпчиків матриці A_G назвемо таке перетворення A_G. Виберемо цілі додатні числа i та j (1in,1jn) й поміняємо місцями i-й та j-й рядки матриці A_G (результат позначимо А₁), а потім – i-й та j-й стовпчики матриці А₁ (результат позначимо А₂). Очевидно, що помінявши спочатку місцями i-й та j-й стовпчики, а потім i-й та j-й рядки, ми дістанемо також матрицю А₂, отже, надалі ми не зважатимемо на те, у якому порядку міняються місцями стовпчики й рядки.

Розглянемо приклад. Нехай граф задано матрицею суміжності А (рис.7,а). Виконаємо узгоджену перестановку другого та четвертого рядків та стовпчиків матриці А. Спочатку поміняємо місцями 2-й та 4-й рядки. В результаті маємо матрицю А₁, зображену на рис.7,б. Тепер міняємо місцями 2-й та 4-й стовпчики матриці А₁. Результат (матриця А₂) зображено на рис.7,в.

а)	б)	в)
	Рис. 7

Теорема 4. Скінченні графи G та H ізоморфні тоді й тільки тоді, коли матрицю суміжності одного з графів можна перетворити на матрицю суміжності іншого графу за допомогою скінченної послідовності узгоджених перестановок рядків та стовпчиків.

Доведення. Нехай G та H – графи порядку n, A_G, A_H – їх матриці суміжності. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що множиною вершин кожного з графів є множина N_n (тобто множина перших n додатних цілих чисел). Якщо графи G та H ізоморфні, й h – ізоморфізм G та H, то елемент a_ij^(G) матриці A_G дорівнює елементу a_h(i)h(j)^(H) матриці A_H (i,jN_n), тому, виконавши узгоджені перестановки рядків та стовпчиків матриці A_G, побудуємо матрицю А, яка збігається з A_H. Перестановки виконуємо таким чином, що i-й рядок (i-й стовпчик) матриці A_G є h(i)-м рядком (h(i)-м стовпчиком) матриці А. Навпаки, якщо матрицю суміжності одного з графів (скажімо, A_G) можна перетворити на матрицю суміжності іншого графу за допомогою скінченної послідовності узгоджених перестановок рядків та стовпчиків, то це означає, що існує бієкція h: N_nN_n, така що (i,j)E_G(h(i),h(j))E_H. Побудуємо її таким чином. Будемо у тій матриці, до якої застосовується перетворення, позначати кожен рядок (стовпчик) тією вершиною, якою він був позначений до початку перетворень. Наприклад, якщо першим перетворенням, застосованим до матриці A_G, є узгоджена перестановка i-го та j-го рядків й стовпчиків, то у матриці, що побудована у результаті цього перетворення, позначимо i-й рядок (стовпчик) j-ю вершиною, а j-й рядок (стовпчик) – i-ю вершиною. Після завершення послідовності перетворень рядки (стовпчики) матриці-результату матимуть позначки. Нехай i – вершина графу G. Покладемо h(i)=j, якщо i-й рядок матриці-результату має позначку j. З побудови h випливає, що h є бієкцією (адже h(1),…, h(n) – це перестановка упорядкованої множини вершин {1,…,n}). Покажемо, що h – шукана бієкція. Нехай (i,j)E_G. Тоді a_ij^(G)=1. Але у результаті послідовності перетворень, що застосовані до матриці A_G, одиниця, що знаходилася на перетині i-го рядка та j-го стовпчика, займатиме у матриці-результаті (яка збігається з матрицею A_H) позицію на перетині рядка h(i) та стовпчика h(j). А оскільки a_h(i)h(j)^(H)=1, то у графі H існує ребро (h(i),h(j)). Міркуючи аналогічним чином, дістанемо: якщо (i,j)E_G, то a_ij^(G)=0, але тоді a_h(i)h(j)^(H)=0, що означає (h(i),h(j)) E_H. Отже, бієкція h має властивість (i,j)E_G(h(i),h(j))E_H. Теорему доведено.

Теорема 5. Скінченні графи G та H ізоморфні тоді й тільки тоді, коли матрицю інцидентності одного з графів можна перетворити на матрицю інцидентності іншого графу за допомогою скінченної послідовності перестановок рядків та стовпчиків.

Доведення аналогічне доведенню теореми 4.

Розглянемо приклад. Нехай задано графи G₁=({1,2,3,4,5},{(1,2),(2,3), (2,4),(4,5)}) та G₂=({1,2,3,4,5},{(1,3),(2,4),(3,4),(4,5)}) (рис.8,а,б). Використаємо теорему 4 для доведення ізоморфності G₁ та G₂. Побудуємо матриці суміжності цих графів А₁ та А₂ (рис.9,а,б). Знайдемо таку скінченну послідовність узгоджених перестановок рядків та стовпчиків матриці суміжності графу G₂, що в результаті буде побудована матриця, що збігається з матрицею суміжності графу G₁.

а)	б)
Рис. 8

Зрозуміло, що коли матриці однакові, то у цих матрицях кількість одиниць у рядках з однаковими номерами однакова.

а)	б)
в)
г)
д)
Рис. 9

Ми бачимо, що у другому рядку матриці А₁ три одиниці, а у другому рядку матриці А₂ – тільки одна. Але у матриці А₂ є рядок, що містить три одиниці (це четвертий рядок). Отже, щоб кількість одиниць у других рядках обох матриць була однакова, треба поміняти місцями другий та четвертий рядок матриці А₂. Результат заміни зображено на рис. 9,в. Тепер поміняємо місцями другий та четвертий стовпчики останньої побудованої матриці й позначимо результат А₃ (рис. 9,в). Оскільки матриці А₁ та А₃ не однакові, продовжуємо перетворення. У матриці А₁ четвертий рядок містить дві одиниці, а у матриці А₃ – одну, але дві одиниці має третій рядок матриці А₃. Отже, поміняємо місцями третій та четвертий рядки матриці А₃ (результат – на рис. 9,г), а потім поміняємо місцями третій та четвертий стовпчики останньої побудованої матриці й результат позначимо А₄ (рис. 9,г). Порівняємо матриці А₁ та А₄. Вони різні, отже, продовжуємо перетворення. Ми бачимо, що у четвертому рядку матриці А₁ одиниці стоять на другому й п’ятому місцях, а у четвертому рядку матриці А₄ – на першому та другому місцях. Поміняємо місцями перший та п’ятий стовпчики матриці А₄, а потім у щойно побудованій матриці поміняємо місцями перший та п’ятий рядки й результат позначимо А₅ (рис. 9,д). Матриці А₁ та А₅ однакові. Отже, ми знайшли послідовність з трьох перетворень матриці А₂, кожне з яких є узгодженою перестановкою рядків та стовпчиків, й результатом цих перетворень є матриця А₅, що збігається з матрицею А₁. Таким чином, за теоремою 4, графи G₁ та G₂ ізоморфні.