Контрольні питання

1. Що таке: а) орграф, б) дуга орграфу, в) початок (кінець) дуги?

2. Що таке: а) напівстепінь заходу (виходу) вершини орграфу, б) степінь вершини орграфу?

3. Що таке: а) матриця суміжності орграфу, б) матриця інцидентності орграфу?

4. Як подати орграф у вигляді діаграми?

5. Що таке: а) шлях (орланцюг, контур) у орграфі, б) напівшлях (напівланцюг, напівконтур) у орграфі?

6. Який орграф називається: а) повним, б) сильно зв’язним, в) слабо зв’язним, г) незв’язним?

7. Що таке: а) орієнтоване (упорядковане орієнтоване) дерево, б) бінарне дерево?

8. Що таке глибина (висота, рівень) вершини орієнтованого дерева?

9. Що таке висота орієнтованого дерева?

10. Яке бінарне дерево називається повним?

Задачі та вправи

І. Побудувати орграф скінченного порядку, що: а) є простим; б) є повним; в) є однорідним; г) має стільки ж дуг, скільки вершин; д) має удвічі більше дуг, ніж вершин; е) має удвічі більше вершин, ніж дуг. Кожен з орграфів подати у вигляді: а) діаграми, б) матриці суміжності, в) матриці інцидентності.

ІІ. Для заданого орграфу визначити: а) які вершини суміжні; б) які дуги суміжні; в) які вершини та дуги інцидентні; г) напівстепінь заходу та напівстепінь виходу кожної вершини; д) чи має орграф вершини, з яких досяжна (не досяжна) кожна (жодна) його вершина; е) чи має орграф вершини, які досяжні (не досяжні) з кожної (жодної) його вершини; є) чи є він ациклічним; ж) чи є він слабо зв’язним (сильно зв’язним); з) чи є він орієнтованим деревом.

1) ({1,2,3},{(1,2),(3,2)});

2) ({1,2,3,4,5},{(1,3),(1,4),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)});

3) ({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,6),(2,3),(3,4),(4,5)});

4) ({1,2,3,4},{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(4,3)});

5) ({1,2,3,4,5},{(1,4),(2,4),(4,5),(4,3),(1,1),(3,3)});

6) ({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,5),(3,4),(5,6),(6,2)});

7) ({1,2,3,4,5,6,7,8,9},{(1,2),(2,7),(7,1),(7,9),(5,6),(8,7)});

8) ({1,2,3},{(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)});

9) ({1,2,3},{(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3)});

10) ({1,2,3,4,5,6},{(1,4),(5,2),(3,6)}).

III. На множині {1,2,3,4,5} задано бінарне відношення R={<1,1>,<1,2>, <2,1>,<2,2>,<3,5>,<5,3>}. Подати R у вигляді орграфу. Використати для подання: а) матрицю суміжності, б) матрицю інцидентності, в) діаграму.

ІV. Сформулювати правила побудови:

1) діаграми орграфу за його матрицею суміжності (й навпаки);

2) діаграми орграфу за його матрицею інцидентності (й навпаки);

3) матриці інцидентності орграфу за його матрицею суміжності (й навпаки).

V. Для заданого орієнтованого дерева Т визначити: а) чи є Т бінарним (повним бінарним); б) множину листків Т; в) напівстепінь виходу кореня; г) глибину (висоту, рівень) кожної вершини; д) висоту Т.

1) Т=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,7)});

2) Т=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,6),(5,7)});

3) Т=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,6),(3,7)});

4) Т=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(1,3),(1,4),(2,5),(3,6),(6,7)});

5) Т=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(2,3),(3,4),(3,5),(5,6),(6,7)}).

VI. Побудувати усі попарно неізоморфні прості орграфи, що містять:

1) 3 вершини та 3 дуги;

2) 3 вершини та 4 дуги;

3) 4 вершини та 3 дуги.

VII. Як за допомогою: а) матриці інцидентності, б) матриці суміжності орграфу визначити:

1) напівстепені виходу та напівстепені заходу кожної вершини;

2) чи має орграф вершини, що не досяжні з жодної вершини орграфу;

3) чи має орграф вершини, з яких не досяжна жодна вершина орграфу;

4) чи є орграф повним?

VIII. Чи існує орграф із трьома вершинами, у якого напівстепені виходу вершин дорівнюють 2,2,0, а відповідні напівстепені заходу – 2,1,1?

ІХ. Побудувати:

1) усі попарно неізоморфні прості повні орграфи з трьома та чотирма вершинами; визначити серед них сильно зв’язні та слабо зв’язні орграфи;

2) усі попарно неізоморфні прості повні орграфи порядку 5, кожен з яких має принаймні одну вершину, з якої досяжна кожна інша вершина орграфу та принаймні по одній вершини, яка досяжна з кожної іншої вершини орграфу;

3) повний простий орграф порядку 6;

4) усі орієнтовані дерева порядку 4 та 5.

Х. Проведено турнір в одне коло (кожен учасник зустрівся з усіма іншими по одному разу) серед n баскетбольних команд. Визначити, скільки команд можуть:

1) не мати жодної поразки;

2) не мати жодної перемоги.

ХІ. Довести, що у повному орграфі:

1) існує вершина, з якої досяжна кожна інша вершина орграфу;

2) існує вершина, що досяжна з будь-якої іншої вершини орграфу;

3) не більше однієї вершини, що не досяжна з кожної іншої його вершини;

4) не більше однієї вершини, з якої не досяжна жодна інша його вершина;

5) існує простий ланцюг, що містить усі вершини орграфу.

ХІІ. Довести:

1) повний орграф сильно зв’язний тоді й тільки тоді, коли він має контур, що містить усі вершини орграфу;

2) будь-який шлях з вершини v у вершину w у орграфі містить простий ланцюг, що сполучає v з w;

3) будь-який циклічний шлях у орграфі містить контур;

4) орграф є сильно зв’язним тоді й тільки тоді, коли у ньому є замкнутий шлях, що містить усі вершини орграфу;

5) орграф є слабо зв’язний тоді й тільки тоді, коли у ньому є напівшлях , що містить усі вершини орграфу;

6) у безконтурному орграфі існує принаймні одна вершина, напівстепінь виходу якої дорівнює нулю, й принаймні одна вершина, напівстепінь заходу якої дорівнює нулю;

7) слабо зв’язний орграф є орієнтованим деревом тоді й тільки тоді, коли лише одна його вершина має напівстепінь заходу, рівний нулю, а кожна інша вершина має напівстепінь заходу, рівний одиниці.

ХІІІ. Нехай А_G – матриця суміжності орграфу G з n вершинами. Довести:

1) кількість маршрутів довжини k між i-ю та j-ю вершинами орграфу G до-рівнює числу, що знаходиться на перетині i-го рядка та j-го стовпчика k-го степеня матриці A_G;

2) вершина з номером j досяжна з вершини з номером i тоді й тільки тоді, коли число, що знаходиться на перетині i-го рядка та j-го стовпчика k-го степеня матриці A_G для деякого k (0<kn), більше 0.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А., Луцький Г.М., Печурін М.К. Основи дискретної математики. К.: Наукова думка, 2002. – 580 с.

2. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети, алгоритмы. – М.: Мир, 1984. – 455 с.

3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1977. – 368 с.

4 Трохимчук Р.М. Збірник задач із теорії графів. – К.: РВЦ «Київський університет», 1998. – 57 с.