Задачі та вправи

І. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(1,3),(2,3),(3,4),(3,5),(4,5)}) визначити: а) чи існує маршрут (ланцюг, простий ланцюг) довжини k між вершинами u та v.

1) k=3, u=1, v=2; 2) k=3, u=4, v=5; 3) k=4, u=1, v=3;

4) k=4, u=2, v=4, 5) k=5, u=1, v=2; 6) k=7, u=1, v=4.

ІІ. Задано граф G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)}). Знайти: а) усі упорядковані пари вершин v та u графу G такі, що v досяжна з u; б) усі прості ланцюги між вершинами 1 та 4; в) усі ланцюги між вершинами 5 та 1; г) усі прості цикли (з точністю до циклічного зсуву).

ІІІ. Для кожного з графів із завдання ІІ на стор. 13 визначити, чи є він зв’язним, побудувавши матрицю досяжності двома способами. Кожен незв’язний граф подати у вигляді диз’юнктивного об’єднання компонентів зв’язності.

ІV. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}) визначити: а) кількість маршрутів довжини 4 між вершинами 1 та 5;

б) кількість маршрутів довжини не більше 4 між вершинами 2 та 3;

в) кількість маршрутів довжини 4 у графі G; г) кількість маршрутів довжини не більше 4 у графі G.

V. Перевірити, чи правильне твердження.

1) Якщо деякий ланцюг, що з’єднує вершину v з вершиною w, проходить через вершину u (uv та uw), то цей ланцюг містить простий ланцюг, що з’єднує v з w й проходить через u.

2) Якщо у графі G для деяких трьох різних вершин v, w та u існують прості ланцюги, один з яких з’єднує v з w, а другий – w з u, то у графі G є простий ланцюг, що з’єднує v з u й проходить через w?

VІ. Довести, що будь-який найкоротший ланцюг, що з’єднує вершини v та w (vw), є простим ланцюгом.

VІІ. Довести, що у графі, усі прості цикли якого мають парну довжину, немає жодного циклу непарної довжини.

VІІІ. Довести, що будь-який циклічний маршрут непарної довжини містить простий цикл. Чи правильне аналогічне твердження для циклічних маршрутів непарної довжини?

ІХ. Для графу G=({1,2,3,4,5},{(1,3),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}) знайти:

а) усі підграфи порядку 2; б) усі підграфи з двома ребрами; в) усі ациклічні підграфи порядку 3; г) усі зв’язні власні підграфи; д) усі незв’язні підграфи, що мають принаймні один цикл; е) усі зв’язні ациклічні підграфи; є) усі кістякові підграфи.

Х. Задано граф G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(1,4),(3,4),(2,4),(4,5),(4,6)}).

Скільки існує: а) ланцюгів між вершинами 2 та 6 графу G, б) кістякових підграфів графу G, що мають вершини степеня 3, в) простих циклів (з точністю до перестановки вершин) у графі G?

ХI. На заданій множині А побудувати відношення еквівалентності та подати його у вигляді графу. Побудований граф подати у вигляді диз’юнктивного об’єднання компонентів зв’язності.

1) А={1,2,3,4}; 2) A={a,b,c,d,e}; 3) A={,,,,,};

4) A=Z; 5) A={n| nN, n>10}; 6) A={x| x – птах};

7) A={x| x – зірка}; 8) А=С; 9) А={x| x – місто України}.

ХІI. Довести наслідок теореми 1: якщо G=(V,E) – граф порядку n, А_G – матриця суміжності G, то маршрут між i-ю та j-ю вершинами графу G існує тоді й тільки тоді, коли елемент c_ij матриці C= А_G¹ + …+ А_Gⁿ відмінний від нуля.

XІІІ. Довести твердження 4.

ХІV. Нехай G – граф, G – його доповнення. Довести, що принаймні один з цих графів зв’язний.

ХV. Нехай граф G=(V,E) зв’язний, eE. Довести, що

а) граф G-e зв’язний, якщо ребро e належить циклу у графі G;

б) граф G-e незв’язний й має тільки два компонента зв’язності, якщо ребро e не входить у жодний цикл у графі G.

ХVІ. Нехай G=(V,E) – зв’язний граф без петель, який не є повним. Довести, що у G існують три такі вершини u, v та w, що (u,v)E й (v,w)E, однак (u,w)E.

ХVІІ. Довести, що у зв’язному графі будь-які два прості ланцюги максимальної довжини мають принаймні одну спільну вершину. Чи правильно, що вони завжди мають спільне ребро?

ХVІІІ. Нехай у простому графі G порядку n степінь кожної вершини не менший від (n-1)/2. Довести, що граф G зв’язний.

ХІХ. Довести, що коли у простому графі G порядку n кількість ребер більша ніж (n-1)(n-2)/2, то граф G зв’язний.