Контрольні питання

1. Що таке: а) неорієнтоване дерево, б) ліс?

2. Що таке: а) кістякове дерево графу, б) кістяковий ліс графу?

3. Яка є необхідна й достатня умова того, що граф є деревом?

4. Скільки ребер має дерево порядку n?

5. Скільки існує різних дерев із заданою множиною вершин, що складаєть-ся з n елементів?

6. Яка найменша кількість кінцевих вершин у нетривіальному скінченному дереві?

7. У яких межах знаходиться число m ребер простого графу порядку n з k компонентами зв’язності?

Задачі та вправи

І. Для заданого графу G визначити, чи є він: а) зв’язним, б) ациклічним, в) неорієнтованим деревом, г) лісом. Які з графів мають кістякові дерева?

1)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(1,3),(2,3)});			2)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(2,3),(2,4),(3,4)});
3)	G=({1,2,3,4},{(2,3),(3,4)});			4)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(2,3),(3,4)});
5)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(2,3),(2,4)});			6)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(3,4)});
7)	G=({1,2,3,4},{(1,1),(2,3)});			8)	G=({1,2,3,4},{(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)}).

ІІ. Побудувати усі кістякові дерева заданого графу G.

1) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6),(5,6)});

2) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(1,4),(2,4),(4,5),(4,6),(5,6)});

3) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(5,6)});

4) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,6),(3,4),(3,6),(5,6)});

5) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(2,3), (2,4),(3,5),(3,6),(4,6),(5,6)}).

ІІІ. Задана множина V={1,2,3,4,5,6}. Побудувати дерево з множиною вершин V за послідовністю елементів множини V.

1)	1,2,3,4;		2)	1,1,3,3;		3)	1,2,2,1;		4)	1,1,1,1;		5)	1,3,1,3;
6)	1,1,1,4;		7)	4,4,5,6;		8)	1,4,4,6;		9)	2,3,4,2;		10)	6,3,6,6.

ІV. Для заданого дерева Т побудувати послідовність вершин (як показано у доведенні теореми Келі).

1) T=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(2,6)});

2) T=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(4,6)});

3) T=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)});

4) T=({1,2,3,4,5,6},{(1,3),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6)});

5) T=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}).

V. Скільки існує дерев: а) з множиною вершин {a,b,c,d,e}; б) з n вершинами, дві з яких є кінцевими; в) порядку n з максимальною кількістю кінцевих вершин?

VІ. На множині вершин {a,b,c,d,e} побудувати усі попарно неізоморфні дерева, які мають вершини степеня 2.

VІІ. Описати усі дерева, доповнення яких також є деревами.

VІІІ. Нехай G=(V,E) – граф порядку n з m ребрами. Нехай m>(n-1)(n-2)/2. Довести, що G зв’язний.

ІХ. Назвемо ребро графу мостом, якщо його вилучення збільшує кількість компонентів зв’язності графу. Довести, що в нетривіальному дереві кожне ребро є мостом.

Х. Довести, що граф G є зв’язним тоді й тільки тоді, коли він має кістякове дерево.

ХІ. Довести, що ліс, який має n вершин та складається з k дерев, містить n-k ребер.

ХІІ. Нехай граф G порядку n є деревом, нехай G не має вершин степеня 2. Довести, що кількість кінцевих вершин дерева G не менша від (n/2)+1.

ХІІІ. Нехай у графі G порядку n (n3) кількість кінцевих вершин збігається з кількістю ребер. Довести, що граф G або є незв’язним, або є деревом.

ХІV. Довести, що ребро зв’язного графу G, яке інцидентне кінцевій вершині, входить в усі кістякові дерева графу G.

ХV. Назвемо цикломатичним числом простого графу G=(V,E), який має k компонентів зв’язності, величину v(G)=|E|-|V|+k. Довести, що: а) v(G)0,

б) граф G є лісом тоді й тільки тоді, коли v(G)=0.