Контрольні питання

1. Які графи називаються ізоморфними?

2. Що таке узгоджена перестановка рядків та стовпчиків матриці суміжності графу?

3. Які є необхідні умови ізоморфності графів?

4. Які є необхідні та достатні умови ізоморфності скінченних графів?

5. Які є способи перевірки ізоморфності: а) довільних графів,

б) скінченних графів?

Задачі та вправи

I. Побудувати такі неізоморфні графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂), що |V₁|=|V₂|, |E₁|=|E₂|.

II. Визначити, які з пар графів, поданих на рис.10-13, є ізоморфними, а які – ні.

а)	б)		а)	б)
Рис. 10			Рис. 11

а)	б)		а)	б)
Рис. 12			Рис. 13

ІІІ. Перевірити, чи є ізоморфними графи G та Н. Якщо графи ізоморфні, довести це, використавши теореми 4 та 5.

1) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(3,2),(2,4),(3,4),(4,1),(4,5),(5,6),(6,1),(6,2),(5,1),(5,2)}), H=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,4),(4,5),(4,6),(5,6)});

2) G=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(1,3),(3,6),(6,4),(4,2),(4,7),(5,7),(2,5),(1,4),(6,7)}),

H=({a,b,c,d,e,f,g},{(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(b,e),(d,e),(e,g),(g,f),(f,c),(d,f)});

3) G=({1,2,3,4,5},{(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(1,4),(1,5)}),

H=({a,b,c,d,e},{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(a,e),(b,d),(b,e),(d,e),(c,d)});

4) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(2,4),(2,3),(4,1),(2,5),(2,6),(4,6),(3,6),(3,5),(1,5),(1,6)}),

H=({a,b,c,d,e,f},{(a,b),(a,c),(c,d),(c,b),(a,d),(d,e),(b,e),(b,f),(e,f),(f,a),(a,e),(b,d)});

5) G=({1,2,3,4,5,6,7},{(1,2),(1,3),(3,4),(3,5),(2,3),(2,4),(4,5),(5,6),(6,4),(6,7),(6,1), (1,7),(7,2),(7,5)}), H=({a,b,c,d,e,f,g},{(a,b),(a,e),(b,c),(c,f),(c,d),(d,a),(a,g),(g,d), (d,e),(e,b),(e,f),(f,g),(f,b),(g,c)});

6) G=({1,2,3,4,5,6,7,8},{(1,2),(2,3),(1,4),(3,5),(4,6),(4,2),(6,7),(7,8),(7,5),(8,5)}),

H=({a,b,c,d,e,f,g,h},{(a,b),(a,c),(b,d),(c,e),(e,f),(f,g),(d,g),(g,h),(h,d),(c,f)});

7) G=({1,2,3,4,5,6},{(4,2),(4,3),(2,1),(2,3),(4,1),(2,5),(2,6),(1,6),(3,6),(3,5),(4,5),(4,6)}),

H=({a,b,c,d,e,f},{(a,b),(a,c),(a,f),(b,f),(a,d),(a,e),(d,e),(b,e),(b,c),(e,c),(b,d),(f,d)});

8) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6),(5,6),(5,3),(5,2),(5,1),(6,1),(6,2),(6,3)}),

H=({a,b,c,d,e,f},{(a,b),(b,c),(c,a),(a,f),(d,e),(c,d),(b,f),(b,d),(a,e),(a,d),(d,f),(e,f)});

9) G=({1,2,3,4,5,6,7,8},{(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,6),(3,4),(3,7),(4,8),(5,6),(6,7), (7,8),(5,8)}),H=({1,2,3,4,5,6,7,8},{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(8,6),(3,1),(1,7),(3,5),(6,4), (8,2), (4,2),(5,7)});

10) G=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(3,4),(1,5),(2,6),(3,5),(3,6),(1,6),(2,5)}), H=({1,2,3,4,5,6},{(1,2),(1,3),(1,5),(4,2),(4,6),(4,5),(2,6),(3,5)}).

ІV. Довести, що якщо графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂) ізоморфні, то для будь-якого цілого невід’ємного числа k кількість вершин степеня k в обох графах однакова.

V. Довести, що якщо графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂) ізоморфні, то для будь-якого цілого невід’ємного числа k кількість простих циклів довжини k в обох графах однакова.

VІ. Довести, що графи G₁=(V₁,E₁) та G₂=(V₂,E₂) ізоморфні тоді й тільки тоді, коли ізоморфні їх доповнення.

VІІ. Нехай на множині графів визначено бінарне відношення R: GRH  графи G та H ізоморфні. Довести, що R є відношенням еквівалентності.