Різновиди графів

Граф G=(V,E) називається порожнім, якщо E=. Наприклад, ({a,b,c},) – порожній граф, а граф ({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) – ні. Порожній граф з однією вершиною будемо називати тривіальним графом.

Граф називається простим, якщо множина його ребер не містить петель. Наприклад, граф ({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) – простий, а граф ({a,b,c}, {(a,b),(c,b),(c,с)}) – ні. Граф з петлями називають псевдографом.

Граф G=(V,E) називається повним, якщо u,vV u та v суміжні. Простий повний скінченний граф порядку n позначається K_n. Наприклад, граф ({a,b,c},{(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)}) є повним; граф ({a,b,c}, {(a,b),(a,c),(b,c)}) – це граф K₃ (простий повний граф порядку 3). Граф G=({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) не є повним, адже вершини b та c несуміжні, бо граф G не містить ребра (b,c).

Граф називається однорідним, або регулярним, якщо усі його вершини мають однакові степені. Степенем однорідного графу називається степінь його вершини. Наприклад, граф ({a,b,c},{(a,b),(a,c),(b,c)}) однорідний степе-ня два, адже n(a)=n(b)=n(c)=2. Граф ({a,b,c},{(a,a),(a,b),(b,c)}) не є однорід-ним, оскільки степені його вершин не однакові, дійсно: n(a)=2, n(b)=2, n(c)=1.

Лема про рукостискання. Сума степенів усіх вершин простого скінченного графу є число парне.

Доведення. Нехай G=(V,E) – простий граф порядку n. Розглянемо суму степенів усіх його вершин S=n(v₁)+…+n(v_n). Оскільки граф G простий, то кінці кожного ребра даного графу – це різні вершини, отже, кожне ребро (v_i,v_j) при обчисленні S враховується рівно двічі: при обчисленні степеня вершини v_i та при обчисленні степеня вершини v_j. Таким чином, S=2|E|, отже, S є парним числом.

Наслідок 1. Кількість вершин непарного степеня у простому скінченному графі є числом парним.

Доведення. Нехай G=(V,E) – простий граф порядку n. Подамо суму степенів усіх його вершин S=n(v₁)+…+n(v_n) у вигляді S=S₀+S₁, де S₀ – сума степенів усіх тих вершин графу G, що мають парні степені, S₁ – сума степенів усіх тих вершин графу G, що мають непарні степені. Нехай S₁0. Оскільки числа S та S₀ парні, то звідси випливає, що S₁ є числом парним. Кожен доданок у сумі S₁ є непарним числом. З парності S₁ випливає, що кількість доданків у S₁ парна, отже, й кількість вершин непарного степеня графу G парна.

Наслідок 2. Нехай G=(V,E) – простий однорідний граф порядку n степеня р. Тоді принаймні одне з чисел n або р парне.

Доведення. Оскільки граф G однорідний степеня р порядку n, то n(v₁)=…=n(v_n)=р й S=n(v₁)+…+n(v_n)=nр. Оскільки граф G простий, то S – парне число, а тому один з множників добутку n  р є парним числом.

Зауважимо, що коли граф не є простим, сума степенів усіх його вершин не обов’язково є парним числом. Розглянемо, наприклад, граф ({a,b,c},{(a,a),(a,b),(a,c),(b,c)}), що не є простим, й обчислимо суму степенів S усіх його вершин. Маємо: S=n(a)+n(b)+n(c)=3+2+2=7, тобто S непарне.

Способи подання графів

Загальним способом подання графу є подання його у вигляді упорядкованої пари множин. Таким способом подаються як скінченні, так й нескінченні графи. Для подання скінченних графів користуються матрицями суміжності, матрицями інцидентності та діаграмами.

Нехай G=(V,E) – граф порядку n. Матрицею суміжності графу G називається матриця A_G порядку n над множиною {0,1}, елемент a_ij (1in, 1jn) якої визначається таким чином:

Розглянемо приклад. Нехай G=({a,b,c},{(a,c),(a,b)}). Нехай вершини графу пронумеровані таким чином: v₁=a, v₂=b, v₃=c. Отже, суміжними є перша та третя вершини (тобто a та c), а також перша та друга вершини (тобто a та b). Тоді A_G(1,3)=1, A_G(3,1)=1, A_G(1,2)=1, A_G(2,1)=1 й A_G={<<1,1>,0>,<<1,2>,1>, <<1,3>,1>,<<2,1>,1>,<<2,2>,0>,<<2,3>,0>,<<3,1>,1>,<<3,2>,0>,<<3,3>,0>}. За-звичай матриця суміжності графу порядку n подається у вигляді таблиці, що має n рядків та n стовпчиків, i-й рядок та i-й стовпчик можуть бути позначені і-ю вершиною (v_i), а на перетині i-го рядка та j-го стовпчика ста-виться 1, якщо i-а та j-а вершини суміжні, й 0, якщо ці вершини не суміжні (1in, 1jn). Нехай, наприклад, G=({a,b,c,d},{(a,d),(b,b),(b,a),(c,d),(d,b)}). Будемо вважати, що вершини графу пронумеровані таким чином: v₁=a, v₂=b, v₃=c, v₄=d. Тоді матриця суміжності A_G графу G може бути подана таблицею, зображеною на рис.1,а, або на рис.1,б, або на рис.1,в.

а)	б)	в)
	Рис. 1

Нехай G=(V,E) – граф порядку n, |E|=m. Матрицею інцидентності графу G називається матриця B_G розмірності nm над множиною {0,1}, елемент b_ij (1in, 1jm) якої визначається таким чином:

Розглянемо приклад. Нехай G=({a,b,c,d},{(a,d),(b,a),(b,c),(c,a),(d,c)}). Пронумеруємо вершини та ребра графу: v₁=a, v₂=b, v₃=c, v₄=d, e₁=(a,d), e₂=(b,a), e₃=(b,c), e₄=(c,a), e₅=(d,c). Ребро e₁ інцидентне першій та четвертій вершинам, e₂ – другій та першій, e₃ – другій та третій, e₄ – третій та першій, e₅ – четвертій та третій. Отже, B_G(1,1)=1, B_G(4,1)=1, B_G(2,2)=1, B_G(1,2)=1, B_G(2,3)=1, B_G(3,3)=1, B_G(3,4)=1, B_G(1,4)=1, B_G(4,5)=1, B_G(3,5)=1. Побудуємо матрицю інцидентності B_G графу G: B_G={<<1,1>,1>,<<1,2>,1>,<<1,3>,0>, <<1,4>,1>,<<1,5>,0>,<<2,1>,0>,<<2,2>,1>,<<2,3>,1>,<<2,4>,0>,<<2,5>,0>, <<3,1>,0>,<<3,2>,0>,<<3,3,>,1>,<<3,4>,1>,<<3,5>,1>,<<4,1>,1>,<<4,2>,0>, <<4,3>, 0>,<<4,4>,0>,<<4,5>,1>}. Зручно подавати матрицю інцидентності графу порядку n з m ребрами у вигляді прямокутної таблиці, що має n рядків та m стовпчиків, i-й рядок може бути позначений і-ю вершиною (v_i), j-й стовпчик – j-м ребром (e_j), а на перетині i-го рядка та j-го стовпчика ставиться 1, якщо j-те ребро інцидентне i-й вершині графу G, й 0 у протилежному випадку (1in, 1jm). Побудована матриця інцидентності B_G графу G може бути подана однією з таблиць, зображених на рис.2,а та 2,б.

а)	б)
Рис. 2

Граф порядку n можна подавати у вигляді діаграми, або рисунку. Для цього треба для кожної вершини графу вибрати точку площини й позначити цю точку вершиною графу, для кожного ребра (v_i,v_j) графу провести відрізок лінії (прямої чи ні) так, щоб він з’єднав точки, що означають вершини v_i та v_j. Зображення вершин та ребер графу на площині будемо надалі називати вершинами та ребрами. Зазвичай ребра діаграми графу є відрізками жорданових ліній, тобто ліній, що не мають самоперетинів. Діаграми графів G₁=({a,b,c,d},{(a,a),(a,c),(b,d),(d,c)}) та G₂=({a,b,c,d},{(a,b),(b,c),(c,a),(c,d)}) подані на рис.3,а та 3,б.

а)	б)
Рис. 3