- •6.030509, 6.030504, 6.030601Дневной и заочной форм обучения
- •1.Решение систем линейных уравнений методом гаусса – жордана
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Приведение системы линейных уравнений к жордановой форме
- •1.3. Понятие общего, частного и базисного решений.
- •2. Общие свойства задачи линейного программирования
- •2.І. Пример задачи линейного программирования - задача об использовании оборудования.
- •2.2. Задача об использовании сырья.
- •2.3. Задача составления рациона (задача о диете).
- •2.4. Общая постановка задачи линейного программирования
- •2.5. Геометрический метод решения злп.
- •Пример 1
- •2.6. Канонический вид злп.
- •2.7. Понятие опорного плана злп.
- •3. Симплексный метод решения злп
- •3.1. Общая характеристика и основные этапы симплекс – метода
- •3.2. Табличный вид злп. Симплекс - таблицы.
- •3.3. Условие оптимальности опорного плана.
- •3.4. Условие неразрешимости злп из-за неограниченности снизу на одр целевой функции.
- •3.5. Переход к новому опорному плану.
- •3.6. Табличный симплекс-алгоритм.
- •После выбора генерального элемента переходим к таблице 3.11
- •Снова выбираем генеральный элемент и переходим к таблице 3.14
- •3.7. Отыскание исходного опорного плана злп методом искусственного базиса
- •3.8. Вырожденность опорного плана. Зацикливание.
- •Двойственность в линейном программировании
- •Экономическая интерпретация двойственных задач
- •Понятие двойственной задачи
- •Теоремы двойственности
- •Транспортная задача.
- •Задача о перевозках.
- •Общая постановка транспортной задачи.
- •Отыскание исходного опорного плана перевозок.
- •5.4. Циклы пересчета
- •5.4.1. Понятие цикла пересчета
- •5.4.2. Максимально допустимый сдвиг по циклу пересчета.
- •5.4.3. Цена цикла пересчета
- •5.5. Потенциалы.
- •5.6. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.
- •5.7. Открытые транспортные задачи.
- •6. Целочисленное линейное программирование
- •6.1. Общая постановка задачи целочисленного линейного программирования (зцлп).
- •6.2. Целочисленная задача об использовании сырья.
- •6.3. Задача о рюкзаке.
- •6.4. Решение зцлп методом округления.
- •6.5. Метод ветвей и границ.
- •Оптимальный план оптимальный план
- •7. Общая постановка и разновидности задач математического программирования
- •Литература
- •Содержание
3.6. Табличный симплекс-алгоритм.
Пусть имеется заполненная симплекс-таблица. Подводя итоги изложенному, получим следующий алгоритм решения ЗЛП симплекс-методом.
1. Если в нижней строке симплекс-таблицы все числа, кроме, быть может, самого правого, неположительны, то опорный план, соответствующий симплекс-таблице, оптимален, и алгоритм останавливается. В противном случае - переход пункту 2.
2. Если симплекс-таблица содержит столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число, а во всех остальных строках - неположительные числа, то ЗЛП неразрешима из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции, и алгоритм останавливается. В противном случае - переход к пункту 3.
3. Выбираем любой столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число - назовем его генеральным. Затем рассматриваем строки симплекс-таблицы, отличные от самой нижней, у которых в генеральном столбце стоят положительные числа. Для каждой из таких строк вычисляем отношение свободного члена к элементу, стоящему в генеральном столбце. Строка, для которой это отношение минимально, является генеральной строкой. Элемент, стоящий на пересечении генерального столбца и генеральной строки, будет генеральным элементом. Переход к пункту 4.
4. Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:
1) из базиса выведена переменная, стоящая в генеральной строке; в базис введена переменная, стоящая в генеральном столбце;
2) генеральная строка поделена на генеральный элемент;
3) с помощью жордановой процедуры все числа генерального столбца, за исключением 1, стоящей в генеральной строке, делаются равными нулю. Переход к пункту 1.
Пример I. Решить симплекс-методом
Задача записана в каноническом виде, нужно привести ее к табличному виду. Система уравнений записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями (базисные переменные и ). Необходимо привести к табличному виду целевую функцию. Для этого выразим базисные переменные через свободные
x3=10 - 2x1 - x2
x4= 8 - x1 - 2x2
и подставим в целевую функцию
Для получения табличного вида функцию запишем так:
Теперь имеем табличный вид ЗЛП:
Заполним первую симплекс-таблицу
Таблица 3.7
Б |
|
|
|
|
Q |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
10 |
|
1 |
2 |
0 |
1 |
8 |
F |
10 |
6 |
0 |
0 |
28 |
В таблице 3.7 условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Выберем в качестве генерального столбец , у которого в нижней строке стоит положительное число. Затем, сравнивая отношения 10:3 и 8:1, выберем первую строку в качестве генеральной. В таблице генеральный элемент 2 .
Действуя в соответствии с пунктом 4 табличного симплекс-алгоритма, перейдем к таблице 3.8.
Таблица 3.8
Б |
|
|
|
|
Q |
|
1 |
|
|
0 |
5 |
|
0 |
|
|
1 |
3 |
F |
0 |
1 |
-5 |
0 |
-22 |
Условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Выбираем в таблице 3.8 генеральный элемент и переходим к следующей таблице
Таблица 3.9
Б |
|
|
|
|
Q |
|
1 |
0 |
|
|
4 |
|
0 |
1 |
|
|
2 |
F |
0 |
0 |
|
|
-24 |
Таблица 3.9 удовлетворяет условию оптимальности.
Ответ: оптимальный план
Минимальное значение целевой функции fmin = - 24.
Пример 2. Решить симплекс-методом:
Прежде всего, ЗЛП нужно привести к каноническому виду
Теперь приводим ЗЛП к табличному виду. Видим, что система уравнений записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями ( и z- базисные переменные). Однако в целевую функцию входит базисная переменная . Имеем:
Следовательно, табличный вид ЗЛП таков:
Заполняем симплекс-таблицу (таблица 3.10).
Таблица 3.10
Б |
|
|
|
z |
Q |
|
-1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
z |
1 |
-2 |
0 |
1 |
4 |
g |
2 |
0 |
0 |
0 |
-1 |