2.2. Задача об использовании сырья.
С математической точки зрения эта задача является обобщением той, которая рассмотрена в предыдущем параграфе. Формулируется она так.
Предприятие
выпускает продукцию n видов
,
на изготовление которой расходуется
сырье m
видов
,
запасы
которого на предприятии равны
соответственно
.
Известны расходы
сырья
Si
на производство единицы продукции
(i
=
;
j
=
).
Стоимость единицы продукции
равна
(j
=
).
Требуется составить такой план выпуска
продукции, при котором выручка от
реализации продукции была бы наибольшей.
Составим математическую модель задачи.
Пусть
-
количество единиц продукции
(j
=
).
Математическая модель имеет вид:
f
=
→
max
при ограничениях:
(
2.0)
2.3. Задача составления рациона (задача о диете).
Для
откорма животного используется n
видов кормов, содержащих m
видов питательных веществ. Пусть
- содержание i-
го питательного вещества в одном
килограмме j
- го вида корма
-
стоимость одного килограмма j-ro
вида корма
Минимальная
суточная потребность животного в i-ом
питательном веществе равна
.
Необходимо составить наиболее дешевый
рацион нужной питательности.
Обозначим через xj количество килограммов корма j-го вида.
Очевидно, математическая модель задачи такова.
f
=
→
min
при ограничениях:
2.4. Общая постановка задачи линейного программирования
Линейным
ограничением,
наложенным на переменные
,
называется соотношение одного из
следующих трех типов:
где
-
действительные числа.
Например,
соотношения 2х
-
≤
1
или
≥
0 являются
линейными,
а соотношения
≥
3
или sin
x1
≤
не являются линейными.
Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП) состоит в следующем.
Дана некоторая линейная функция
f
=
n
(2.1)
и
некоторая система линейных ограничений,
наложенных на переменные
:
(2.2)
Требуется найти такие значения переменных , которые
удовлетворяли бы ограничениям (2.2) и при этом условии обращали бы в оптимум (max и min) функцию (2.1).
Функция (2.1) называется целевой. Каждый набор значений переменных, при которых удовлетворяются ограничения (2.2), называется допустимым решением или допустимым планом ЗЛП. Совокупность всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР).
Приведенные в параграфах 2.1, 2.2, 2.3 задачи являются, очевидно, задачами линейного программирования.
Допустимое решение, обращающее целевую функцию в оптимум, называется оптимальным решением или оптимальным планом.
Говорят, что ЗЛП разрешима, если она имеет оптимальный план. В противном случае задача называется неразрешимой.
ЗЛП может быть неразрешимой только по следующим двум причинам:
а) ОДР пуста;
б) ОДР непуста, но целевая функция не ограничена на ОДР сверху, если в ЗЛП ищется ее максимум, или - не ограничена снизу, если в ЗЛП ищется минимум целевой функции.
Например,
задача: f
=
min
при ограничениях
неразрешима из-за пустоты ОДР.
Задача
же f
=
max
при ограничениях
неразрешима
из-за того, что целевая функция не
ограничена сверху на ОДР. (Чтобы убедиться
в этом, рассмотрите такие допустимые
решения :
и
т.д.).