5.7. Открытые транспортные задачи.
При
рассмотрении транспортной задачи
(5.1 - 5.4) предполагалась справедливость
равенства
.
Такие транспортные задачи называются
закрытыми.
На
практике часто возникают так называемые
открытые
транспортные задачи, для которых
.
Если
,
то задача состоит в отыскании наиболее
дешевого плана перевозок, при котором
полностью удовлетворяются потребности
пунктов назначения Вj
(
);
при этом не все запасы пунктов отправления
исчерпываются.
Если
же
,
то потребности пунктов назначения
не полностью удовлетворяются, а запасы
пунктов отправления исчерпываются.
Открытая транспортная задача сводится к закрытой следующим образом.
Пусть
.
Введём фиктивный пункт назначения Вn+1
с потребностью
.
Будем считать, что cin+1=0 при всех . После решения полученной закрытой транспортной задачи опустим перевозки в пункт Вn+1; получим оптимальный план перевозок для открытой транспортной задачи.
Аналогично, в случае справедливости неравенства вводится фиктивный пункт отправления Аm+1, и дело сводится к решению закрытой транспортной задачи.
Пример. Пусть исходные данные приведены в таблице 5.12
Таблица 5.12
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
А1 |
2
|
4
|
3
|
20 |
А2 |
1
|
5
|
4
|
30 |
Потребности |
15 |
25 |
18 |
58 #50 |
Это
открытая транспортная задача, в которой
.
Введем фиктивный пункт отправления А3 с запасом 8 (табл. 5.13)
Таблица 5.13
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
А1 |
2
|
4
|
3
|
20 |
А2 |
1
|
5
|
4
|
30 |
А3 |
0
|
0
|
4
|
8 |
Потребности |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
Получилось закрытая транспортная задача. Решим ее методом потенциалов (табл. 5.14, 5.15, 5.16, 5.17).
Таблица 5.14 Таблица 5.15
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
αi |
|
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
αi |
А1 |
15 |
4 5 |
3 3
|
20 |
0 |
|
А1 |
2 2
|
4 20 |
5 3
|
20 |
1 |
А2 |
3 1
|
5 20 |
4 10 |
30 |
1 |
|
А2 |
1 15 |
5 5 |
4 10 |
30 |
0 |
А3 |
-1 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-3 |
|
А3 |
-3 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-4 |
Потре бности |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
Потре бности |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
βj |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
βj |
1 |
5 |
4 |
|
|
2
Таблица 5.16 Таблица 5.17
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
αi |
|
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
αi |
А1 |
0
|
4 10 |
3 10 |
20 |
0 |
|
А1 |
0 2
|
4 2 |
3 18 |
20 |
0 |
А2 |
1 15 |
5 15 |
4
|
30 |
1 |
|
А2 |
1 15 |
5 15 |
4 4
|
30 |
1 |
А3 |
-3 0
|
1 0
|
0 8 |
8 |
-3 |
|
А3 |
-4 0
|
0 8 |
0
|
8 |
-4 |
Потре бности |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
|
Потре бности |
15 |
25 |
18 |
58=58 |
|
βj |
0 |
4 |
3 |
|
|
|
βj |
0 |
4 |
3 |
|
|
2
В таблице 5.17 - оптимальный план перевозок для закрытой транспортной задачи. Опускаем перевозки из фиктивного пункта А3, получим оптимальный план для открытой транспортной задачи (табл.5.18).
fmin = 2•4 + 18•3 + 15•1 + 15•5 = 152
Потребность пункта В2 удовлетворена не полностью.
Таблица 5.18
Пн По |
В1 |
В2 |
В3 |
Запасы |
А1 |
2
|
4 2 |
3 18 |
20 |
А2 |
1 15 |
5 15 |
4
|
30 |
Потре бности |
15 |
25 |
18 |
|