- •6.030509, 6.030504, 6.030601Дневной и заочной форм обучения
- •1.Решение систем линейных уравнений методом гаусса – жордана
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Приведение системы линейных уравнений к жордановой форме
- •1.3. Понятие общего, частного и базисного решений.
- •2. Общие свойства задачи линейного программирования
- •2.І. Пример задачи линейного программирования - задача об использовании оборудования.
- •2.2. Задача об использовании сырья.
- •2.3. Задача составления рациона (задача о диете).
- •2.4. Общая постановка задачи линейного программирования
- •2.5. Геометрический метод решения злп.
- •Пример 1
- •2.6. Канонический вид злп.
- •2.7. Понятие опорного плана злп.
- •3. Симплексный метод решения злп
- •3.1. Общая характеристика и основные этапы симплекс – метода
- •3.2. Табличный вид злп. Симплекс - таблицы.
- •3.3. Условие оптимальности опорного плана.
- •3.4. Условие неразрешимости злп из-за неограниченности снизу на одр целевой функции.
- •3.5. Переход к новому опорному плану.
- •3.6. Табличный симплекс-алгоритм.
- •После выбора генерального элемента переходим к таблице 3.11
- •Снова выбираем генеральный элемент и переходим к таблице 3.14
- •3.7. Отыскание исходного опорного плана злп методом искусственного базиса
- •3.8. Вырожденность опорного плана. Зацикливание.
- •Двойственность в линейном программировании
- •Экономическая интерпретация двойственных задач
- •Понятие двойственной задачи
- •Теоремы двойственности
- •Транспортная задача.
- •Задача о перевозках.
- •Общая постановка транспортной задачи.
- •Отыскание исходного опорного плана перевозок.
- •5.4. Циклы пересчета
- •5.4.1. Понятие цикла пересчета
- •5.4.2. Максимально допустимый сдвиг по циклу пересчета.
- •5.4.3. Цена цикла пересчета
- •5.5. Потенциалы.
- •5.6. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.
- •5.7. Открытые транспортные задачи.
- •6. Целочисленное линейное программирование
- •6.1. Общая постановка задачи целочисленного линейного программирования (зцлп).
- •6.2. Целочисленная задача об использовании сырья.
- •6.3. Задача о рюкзаке.
- •6.4. Решение зцлп методом округления.
- •6.5. Метод ветвей и границ.
- •Оптимальный план оптимальный план
- •7. Общая постановка и разновидности задач математического программирования
- •Литература
- •Содержание
3.7. Отыскание исходного опорного плана злп методом искусственного базиса
Чтобы начать решение ЗЛП симплекс-методом, нужно привести ее сначала к каноническому виду, а потом - к табличному. Табличный вид требует, чтобы система уравнений канонического вида была приведена к жордановой форме с неотрицательными правыми частями. Базисное решение такой жордановой формы будет исходным опорным планом ЗЛП.
Приведение системы линейных уравнений к жордановой форме не представляет труда, однако требование неотрицательности правых частей усложняет задачу. Кроме того, если ОДР задачи пуста, то жордановой формы с неотрицательными правыми частями не существует (хотя жорданову форму система линейных уравнений может иметь).
Систематическая процедура, которая либо обнаруживает неразрешимость ЗЛП из-за пустоты ОДР, либо приводит систему линейных уравнений канонического вида к жордановой форме с неотрицательными правыми частями (отыскивает исходный опорный план) называется методом искусственного базиса. Приступим к изложению этого метода.
Пусть ЗЛП записана в каноническом виде.
(3.5)
Прежде всего нужно сделать неотрицательными правые части системы (3.6). Этого можно добиться умножением на (-1) уравнений с отрицательными правыми частями. Итак, будем считать, что
(3.8)
Рассмотрим вспомогательную задачу, которая записывается следующим образом:
(3.9)
Переменные называются искусственными. Они образуют базис в жордановой форме (3.10), который называется искусственным базисом.
ОДР вспомогательной задачи непуста, так как ей принадлежит следующий набор значений переменных: (см.(3.10),(3.11),(3.12)(3.8)). Целевая функция (3.9), являющаяся суммой неотрицательных переменных, ограничена снизу на ОДР нулем: . Таким образом, для вспомогательной задачи ни одна из двух причин неразрешимости не имеет места, и, следовательно, вспомогательная задача разрешима. Так как система уравнений записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями, то мы можем привести вспомогательную задачу к табличному виду и решить симплекс-методом. После решения могут представиться два случая.
1. (3.I3)
Покажем, что тогда исходная задача (3.5 - 3.7) неразрешима из-за пустоты ОДР. Действительно, пусть, вопреки этому утверждению, есть допустимое решение исходной задачи. Тогда набор значений переменных
является, очевидно, допустимым решением вспомогательной задачи. Значение целевой функции F при этом допустимом решении равно 0, что противоречит (3.13).
2. (3.14)
Рассмотрим последнюю симплекс-таблицу для вспомогательной задачи. Выпишем соответствующую этой таблице жорданову форму с неотрицательными правыми частями. Здесь могут представиться две возможности:
а) среди базисных переменных нет искусственных. Тогда удалим из жордановой формы все члены, содержащие искусственные свободные переменные, получим жорданову форму с неотрицательными правыми частями для исходной задачи;
б) среди базисных переменных есть искусственные. Учитывая (3.9) и (3.14), можно утверждать, что в оптимальном плане значения всех искусственных переменных равны 0. Поэтому правая часть каждого уравнения, содержащего искусственную переменную в качестве базисной, равна 0, т.е. такое уравнение можно записать так:
(3.15)
Далее, если в уравнении (3.15) коэффициенты при всех переменных равны 0 (иначе говоря, оно фактически содержит только искусственные переменные), то удалим такое уравнение из жордановой формы. Если же уравнение вида (3.15) содержит какую-либо переменную с ненулевым коэффициентом, то поделим уравнение на коэффициент при , получим уравнение вида:
(3.16)
С помощью жордановой процедуры исключим из остальных уравнений системы. Так как правая часть уравнения (3.16) равна 0, то правые части остальных уравнений после исключения не изменятся и останутся неотрицательными.
С помощью указанных приемов мы всегда можем получить жорданову форму с неотрицательными правыми частями, среди базисных переменных которой нет искусственных, и прийти, таким образом, к случаю а).
Пример I. Решить симплекс-методом
Задача записана в каноническом виде, однако правая часть второго уравнения системы отрицательна. Поэтому систему уравнений перепишем так:
Запишем вспомогательную задачу
Решим вспомогательную задачу симплекс-методом. Для этого приведем ее к табличному виду
Табличный вид вспомогательной задачи таков:
Построим первую симплекс-таблицу (таблица 3.15)
Таблица 3.15
Б |
|
|
|
|
|
Q |
|
1 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
|
-2 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
F |
-1 |
4 |
2 |
0 |
0 |
4 |
Перейдем к новой симплекс-таблице (таблица 3.16)
Таблица 3.16
Б |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
F |
|
0 |
|
0 |
|
|
Переходим к следующей симплекс-таблице. Обратим внимание, что в качестве генерального столбца взят первый, а не третий столбец - это наше право!
Таблица 3.17
Б |
|
|
|
|
|
Q |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
F |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
Мы достигли оптимального плана для вспомогательной задачи; при этом . Выпишем жорданову форму, соответствующую таблице 3.17:
Опустив искусственные переменные, получим жорданову форму с неотрицательными правыми частями для исходной задачи:
Теперь приступаем к решению исходной задачи. Приведем ее к табличному виду
Составим симплекс-таблицу для исходной задачи (таблица 3.18) и переходим к следующей таблице 3.19
Таблица 3.18
Б |
|
|
|
Q |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
F |
0 |
0 |
1 |
|
Таблица 3.19
Б |
|
|
|
Q |
|
1 |
-2 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
F |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
Получим оптимальное решение:
С целью частичного контроля правильности вычислений можно убедиться в том, что полученное решение является допустимым решением исходной задачи, значение целевой функции при котором равно -1.
Пример 2. Решить симплекс-методом
Составим вспомогательную задачу
Известными приемами приведем ее к табличному виду:
Заполним симплекс-таблицу (таблица 3.20)
Таблица 3.20
Б |
|
|
|
|
|
Q |
|
2 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
|
4 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
5 |
F |
6 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
7 |
Перейдем к новой симплекс-таблице (3.21)
Таблица 3.21
Б |
|
|
|
|
|
Q |
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
-2 |
-2 |
1 |
1 |
F |
0 |
0 |
-2 |
-3 |
0 |
1 |
Получим оптимальный план. Значение целевой функции при оптимальном плане . Поэтому исходная ЗЛП неразрешима из-за пустоты ОДР.
Любопытно отметить, что система линейных уравнений исходной ЗЛП совместна и приводится к жордановой форме. Однако она не приводится к жордановой форме с неотрицательными правыми частями.
Сделаем еще одно полезное замечание. В рассматриваемом примере 2 можно было бы составить более простую вспомогательную задачу:
Дело в том, что цель введения искусственных переменных - получение жордановой формы с неотрицательными правыми частями для вспомогательной задачи. Здесь эта цель достигается с помощью одной искусственной переменной у . Допустимый базис состоит из переменных и у .