Системи числення. Переведення чисел однієї системи числення в іншу.
ЕОМ працюють з інформацією, що задається у вигляді чисел і різних кодів в прийнятій при розробці ЕОМ системі числення.
Відомі позиційні і непозиційні системи числення. Прикладом позиційної системи є звична для нас десяткова система числення. Число в позиційній системі означають послідовністю цифр. При цьому кількісне значення кожної цифри числа(розряду) визначається місцем, яке ця цифра займає в числі. Кількість різних цифр, використовуваних в системі числення, називається основою системи. У десятковій системі використовується десять цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, би, 7, 8 і 9. Основою системи є число десять.
Так, число 452 мі можемо представити як 4-102 + 5-10' + + 2— 10" = 400+ 50+ 2 = 452; число 256.25 — як 2-102 + 5-10' + + 6-10 + 2-10-1 + 5-10-2 = 200 + 50 + 6 + 0.2 + 0,05 -256.25.
Прикладом непозиційної системи числення є римська система, де за деякими виключеннями значення цифри(знаку) не залежить від займаного їм в числі місця. Так, число ЬХХУ в десятковому зображенні є торба цифр, що входять в нього : 50+104-10 + 5 = 75.
Для обчислень застосовуються позиційні системи числення. Очевидно, що -десятичная позиційна система не є єдино можливою. Її виникнення було пов'язане з рахунком по пальцях на двох руках у древніх людей. Для реалізації механічних або електронних систем рахунку треба, щоб в системі забезпечувалася фіксація стількох стійких станів при рахунку, скільки цифр в основі системи. Реалізувати таку систему при десяткових цифрах скрутно. Для електронних схем зручніші елементи, що мають всього два стійкі стани(ланцюг замкнутий або розімкнений, заряд позитивний або негативний, напруга подана або не подана і т. д.). Це привело до того, що ЕОМ працюють, як правило, з числами в двійковій системі числення.
Загальне правило перекладу чисел з однієї системи числення в іншу наступне: щоб перевести ціле число з однієї системи числення в іншу, треба розділити це число на основу нової системи до отримання цілого частки. Залишок ділення(у тому числі нуль) буде молодшим розрядом(т. е. розрядом одиниць) в новій системі. Отриману частку слід знову розділити на основу нової системи, отримуючи в залишку черговий розряд шуканого числа. Цей процес повторюють до тих пір, поки частка не стане менше основи системи. Воно буде старшим розрядом числа. При діленні основа нової системи має бути записана в початковій системі, ділення також повинне виконуватися в початковій. Розглянемо застосування викладеного вище правила на прикладах.
Перекласти 249 10 в двойничну систему числення
Як видно з прикладів, перекладення з десяткової системи в двійкову об' ємніший, ніж перекладення у вісімкову систему. Скористаємося тією обставиною, що цифра 8 є цілою мірою від 2(8 = 23). Розіб'ємо отриманий в прикладі 2.11 результат по тріадах, починаючи з молодшого розряду, і запишемо кожну тріаду як вісімкову цифру
Для перекладу числа з десяткової системи числення в двійкову можна перевести його в проміжну вісімкову систему і далі кожну вісімкову цифру записати як тріаду двійкового числа. Для переведення двійкового числа в десятичну систему можна записати його по тріадах як вісімкове число, а потім здійснювати переведення отриманого вісімкового числа в десятичну систему. Переведення вісімкового числа в десятичну систему числення найпростіше здійснювати порозрядним множенням значення шкірного розряду вісімкового числа на значення одиниці розряду в десятковій системі числення з подальшим десятковим складанням підсумків(як це показане нижче в прикладі 2.13). Це правило дійсно і по відношенню до шістнадцятиричних чисел. Тільки в цьому випадку працюють вже не з тріадами, а з двійковими тетрадами, бо 16 = 2*.
Приклад - перевести 152910 в двійкову систему числення :
Приклад - Перевести 1111000111102 в десяткову систему числення
Перекладення правильних дробів з однієї системи числення в іншу здійснюють таким чином. Дробова частина відділяється від цілою вертикальною рисою. Виконується множення дробової частини(записаною праворуч від вертикальної риси) на основу нової системи. Результат записується строго під початковим числом, починаючи з молодшого розряду. При перенесенні в цілу частину запис здійснюється зліва від риси. Дробову частину отриманого числа знову множать на основу нової системи числення. Переносимі за рису цифри є розрядами дробу в новій системі. Множення виконують до отримання результату з необхідною точністю(по числу значущих розрядів) або до отримання нуля права від риси. Множення робиться в початковій системі, основу нової системи представляють в початковій системі.