2.4Формирование кэм

Полученные выше узлы объединяются в КЭМ посредством КЭ. Таблица соединений узлов формируется произвольно, однако при нумерации следует придерживаться принципа, по которому однотипные КЭ нумеруются подряд. Это позволяет облегчить ввод и верификацию вводимой в компьютер информации. Принятая нумерация КЭ приведена на рисунке 2.3 (цифры в кружках). Связность узлов конечными элементами осуществляется таблицей чисел, в которой номеру КЭ сопоставляются номера начального и конечного связываемых узлов. Связность КЭ записывается в виде таблицы, формируемой по типу таблицы 2.3.

При назначении номеров начального и конечного узлов КЭ следует иметь в виду, что ориентация местной системы координат (МСК) каждого КЭ [2] зависит от направления его нумерации. Ось OZ всегда направляется из начала КЭ в его конец, это определяет положение других осей МСК (осей OX и OY). Для однозначного направления осей МСК всех КЭ следует КЭ нумеровать так, чтобы оси OZ МСК всех КЭ совпадали с осями общей системы координат (ОСК). Для КЭ, параллельных оси OZ, ОСК нумеровать следует снизу вверх, для КЭ, параллельных оси ОХ, – слева направо, для КЭ, параллельных оси OY, – от ближнего узла вглубь.

Таблица 2.3– Связность КЭМ

№	Номера узлов КЭ		№	Номера узлов КЭ		№	Номера узлов КЭ
КЭ	Начала	Конца	КЭ	Начала	Конца	КЭ	Начала	Конца
1	1	5	17	9	5	33	21	25
2	2	6	18	5	7	34	25	29
3	3	7	19	7	11	35	29	26
4	4	8	20	10	6	36	26	22
5	13	17	21	6	8	37	23	27
6	14	18	22	8	12	38	27	30
7	15	19	23	9	10	39	30	28
8	16	20	24	11	12	40	28	24
9	13	5	25	17	21	41	25	31
10	5	6	26	21	23	42	31	27
11	6	15	27	23	19	43	26	32
12	14	7	28	18	22	44	32	28
13	7	8	29	22	24
14	8	16	30	24	20
15	13	14	31	17	18
16	15	16	32	19	20

Кроме определения связности для формирования КЭМ требуется задать геометрические характеристики вводимых КЭ. При проведении проверочного расчета прочности спроектированной конструкции эти характеристики являются заданными величинами. При проектировочном расчете выбор поперечных сечений проводится итерационной процедурой. В качестве первого приближения выбираются номера прокатных профилей, обеспечивающие прочность элементов, рассматриваемых как отдельные балки или стойки с жестко защемленными концами. Для этого из КЭ выделяют однотипные КЭ с наибольшей нагрузкой и строят для них балочные расчетные схемы. Выбор элементарных балок лучше начинать с тех, к которым непосредственно приложена нагрузка. В рассмотренном примере такой будет балка, образуемая КЭ № 41-42 (43-44), на которую воздействует сила Р₂. Согласно заданию для такой балки следует принять двутавровое поперечное сечение. Номер двутавра выбирается по требуемому моменту сопротивления, определяемому из соотношения

,

М_max определяется по балочной расчетной схеме элемента, приведенной на рисунке 2.4,

,

Рисунок 2.4– Балочная схема КЭ

Такому требованию удовлетворяет двутавр № 14.

На элементарную балку, образованную КЭ № 33-34-35-36 ( 37-38-39-40 ) передается нагрузка с предыдущей балки в узлах № 25 и 26. Величину нагрузки можно вычислить по уравнению равновесия моментов в балке:

.

Для балочной схемы предварительного расчета, приведенной на рисунке 2.5

По условию задания для рассматриваемой балки следует выбрать швеллер. Требуемый момент сопротивления имеет швеллер № 10. Кроме сил Р₂₅, Р₂₆ на швеллер воздействует сила Р₁ в горизонтальной плоскости,

поэтому следует проверить прочность швеллера в другой плоскости по схеме приведенной на рисунке 2.6:

Рисунок 2.5–Балочная схема КЭ № 33

;

Рисунок 2.6– Балочная схема КЭ № 34

МПа; Балки, образованные КЭ №25-26-27 (28-29-30), следует рассчитывать по схеме, приведенной на рисунке 2.7.

Реакции в опорах находятся из уравнений сумм моментов относительно узлов № 17 и № 19:

Рисунок 2.7– Схема расчета КЭ № 25

Из вышеприведенных уравнений получаем R₁₇=14208,21 H, а R₁₉=15636,79 H;

0Z₁2,1; ; M(0)=0; M(2,1)=0,2388410⁵ Hм;

2,1Z₂6,3; ;

M(2,1)=0,2388410⁵ Hм; M(6,3)=0,1493010⁵ Hм;

0Z₂1,05; ; M(0)=0; M(1,05)=0,1493010⁵ Hм;

M_max=0.23884 Hм.

По вычисленному значению M_max определяем W_треб=149,3 см³, для рассматриваемой балки подходит двутавр № 18a.

Рисунок 2.8– Расчетная схема КЭ №9

Балку, образованную КЭ № 9-10-11 (12-13-14), рассчитываем по схеме, приведенной на рисунке 2.8. Усилия Р₁₃ и Р₁₅ образованы реакциями в опорах предшествующей балки плюс усилие от нагрузок в КЭ № 31 и 32:

R(q₃₁)=R(q₃₂)=q₂l₃₁/2. Здесь a=2,1 м; b=4,2 м; с=1,05 м;

R₁₃=0,1420810⁵ H;

R ₁₅=0,1563610⁵ H;

R (q₃₁)=0,32410⁴ H; P₁₃=0,1744810⁵ H; P ₁₅ =0,1887610⁵ H;

M_max=2,983710⁴Hм; W_треб=186,5 см³ – требуемому моменту сопротивления соответствует швеллер № 22.

Рисунок 2.9– Расчетная схема КЭ №17

Балка образованная КЭ № 17-18019 (20-21-22), рассчитывается по схеме рисунка 2.9:

P₉=P₁₁=q₁l₂₃/2=1800^.4,2/2==0,378*10⁴H, здесь a=1,2 м; b=2,4 м; с=1,8 м, тогда М_max=0,9072*10⁴ Н^.м.

Проверяем в КЭ № 23 (24):

.

В качестве расчетного момента принимаем больший , тогда W_треб=24,806 см³ и можно применить уголок № 12,5х1,5.

Вертикальные стержни выбираем из условия устойчивости. Стойки, образованные КЭ № 5, 6, 7, 8, нагружены силой Р₁₇=Р₁₃=0,17448^.10⁵ Н. Определяем требуемую площадь поперечного сечения предварительно принимаем среднее значение коэффициента продольного изгиба =0,4, тогда см². Так как на стержни действует еще изгибающий момент, который предварительно найти довольно сложно, их сечения выбираем конструктивно. Для данных стержней выберем уголок № 12,5х1,5. Стойки, образованные КЭ № 1, 2, 3, 4, подбираем аналогично предыдущим стержням. Для них подходит двутавр № 30.

Предварительный выбор номеров прокатных профилей закончен. Следующий этап подготовки данных заключается в составлении таблицы геометрических характеристик поперечных сечений (таблица 2.4). В таблицу заносятся осевые моменты инерции I_x, I_y, момент инерции кручения I_d и площадь поперечного сечения F. При назначении осевых моментов инерции следует обратить внимание на расположение осей МСК, которое для каждого КЭ образуется из ОСК [3, 4]. Для этого начало координат ОСК переносится в начальный узел КЭ (см. таблицу 2.3). Для вертикальных стержней, то есть параллельных оси OZ, МСК и ОСК совпадают и поворота осей МСК не требуется. Для КЭ, не параллельных оси OZ, ось oz_i MСК совмещают с осью КЭ поворотом сначала вокруг оси OY до совпадения OZ с плоскостью КЭ, а затем вокруг оси ОХ. Для КЭ, параллельного оси OY, сразу делается поворот вокруг оси ОХ, так как ось oz_i уже в плоскости оси КЭ. Расположение осей MСК для различных КЭ приведено на рисунке 2.10.

Момент инерции при кручении либо определяется по справочнику [6], либо вычисляется по приближенной формуле здесь к – число прямоугольников в сечении (для уголка к =2, для двутавра и швеллера к =3); _i – толщина прямоугольного элемента, l_i – его длина.

Рисунок 2.10 – Расположение осей МСК

Из сортамента определяются характеристики сечений.

Тип сечения № 1. Двутавр № 30: h=30 см, b=13,5 см, d=0,65 см, t=1,02 см, F=46,5 см²; I_x-x =7080 см⁴; I_y-y=337 см⁴ ;

I_кр=1/3(2^.1,02^3.13,5+0,65^3.30)=12,297 см⁴.

Тип сечения № 2. Швеллер № 22: h=22 см, b=8,2 см, d=0,54 см, t=0,95 см, F=26,7 см²; I_x-x =2110 см⁴; I_y-y=151 см⁴ ; I_кр=5,84 см⁴.

Тип сечения № 3. Двутавр № 18а: h=18 см, b=10 см, d=0,51 см, t=0,83 см, F=25,4 см²; I_x-x =1430 см⁴; I_y-y=114 см⁴ ; I_кр=4,6078 см⁴.

Тип сечения № 4, 5. Уголок № 12,5х1,5: b=12,5 см, d=1,5 см, F=37,8 см²; I_x-x =539 см⁴; I_кр=1/3( 2^.1,5^3.12,5 )=28,125 см⁴.

Тип сечения № 6. Двутавр № 14: h=14 см, b=7,3 см, d=0,49 см, t=0,75 см, F=17,4 см²; I_x-x =572 см⁴; I_y-y=41,9 см⁴ ; I_кр=2,6022 см⁴.

Тип сечения № 7. Швеллер № 10: h=10 см, b=4,6 см, d=0,45 см, t=0,76 см, F=10,9 см²; I_x-x =174 см⁴; I_y-y=20,4 см⁴; I_кр=1,6499 см⁴.

Таблица геометрических характеристик заполняется для всех КЭ с учетом их номера в КЭМ (см. рисунок 2.3) и расположения осей МСК (см. рисунок 2.10). Все параметры вводятся в СИ, то есть F в м², I_{x (y,кр)} - в м⁴.

Таблица 2.4– Геометрические характеристики КЭ

№ КЭ	F, м2	Ix, м4	Iy, м4	Iкр, м4
1	4,6510-02	3,370010-06	7,080010-05	1,229710-07
2	4,6510-02	3,370010-06	7,080010-05	1,229710-07
3	4,6510-02	3,370010-06	7,080010-05	1,229710-07
4	4,6510-02	3,370010-06	7,080010-05	1,229710-07
5	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
6	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
7	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
8	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
9	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
10	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
11	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
12	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
13	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
14	2,6710-03	1,510010-06	2,110010-05	5,840010-08
15	2,6710-03	2,110010-05	1,510010-06	5,840010-08
16	2,6710-03	2,110010-05	1,510010-06	5,840010-08
17	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07

Продолжение таблицы 2.4

№ КЭ	F, м2	Ix, м4	Iy, м4	Iкр, м4
18	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
19	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
20	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
21	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
22	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
23	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
24	3,7810-03	5,390010-06	5,390010-06	2,812510-07
25	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
26	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
27	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
28	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
29	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
30	2,5410-03	1,140010-06	1,430010-05	4,607810-08
31	2,5410-03	1,430010-05	1,140010-06	4,607810-08
32	2,5410-03	1,430010-05	1,140010-06	4,607810-08
33	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
34	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
35	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
36	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
37	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
38	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
39	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
40	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08
41	1,7410-03	4,190010-07	5,720010-06	2,602210-08
42	1,7410-03	4,190010-07	5,720010-06	2,602210-08
43	1,7410-03	4,190010-07	5,720010-06	2,602210-08
44	1,7410-03	4,190010-07	5,720010-06	2,602210-08
45	1,0910-03	1,740010-06	2,040010-07	1,649910-08