2.8Проверка жесткости конструкции
Анализ жесткости конструкции заключается в проверке условия:
;
,
здесь f – линейные перемещения узлов КЭМ; l – расстояние между опорами.
Линейные и угловые перемещения каждого узла КЭМ являются результатами расчета также, как и внутренние усилия. Их значения представлены в таблице 2.9.
Таблица 2.9– Перемещения узлов схемы
№ узла |
Перемещения узлов по осям, м |
||
X |
Y |
Z |
|
1 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
2 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
3 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
4 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
0.00000e+00 |
5 |
-3.85701e-04 |
2.44848e-04 |
-3.43527e-06 |
6 |
-1.68586e-04 |
2.44788e-04 |
-3.16902e-06 |
7 |
-3.86384e-04 |
2.63068e-04 |
-3.70209e-06 |
8 |
-1.68144e-04 |
2.62849e-04 |
-3.43615e-06 |
9 |
-2.73817e-04 |
2.44846e-04 |
-4.27556e-03 |
10 |
-2.73071e-04 |
2.44790e-04 |
-4.26409e-03 |
11 |
-2.72233e-04 |
2.63070e-04 |
-1.23646e-02 |
12 |
-2.71966e-04 |
2.62847e-04 |
-1.23430e-02 |
13 |
-4.24719e-04 |
2.35975e-04 |
-8.70120e-03 |
14 |
-4.25337e-04 |
2.48672e-04 |
-8.70314e-03 |
15 |
-1.49078e-04 |
2.40764e-04 |
-3.81614e-04 |
16 |
-1.48668e-04 |
2.53721e-04 |
-3.82604e-04 |
17 |
-9.69073e-04 |
2.49284e-04 |
-8.71085e-03 |
18 |
-9.69282e-04 |
2.36055e-04 |
-8.71279e-03 |
19 |
-1.11189e-03 |
2.54088e-04 |
-3.91689e-04 |
20 |
-1.11183e-03 |
2.40808e-04 |
-3.92680e-04 |
21 |
-1.01009e-03 |
2.44166e-04 |
-1.81434e-02 |
22 |
-1.01022e-03 |
2.43999e-04 |
-1.81470e-02 |
23 |
-1.09138e-03 |
2.47320e-04 |
-7.39965e-03 |
24 |
-1.09136e-03 |
2.46952e-04 |
-7.40180e-03 |
25 |
-1.05151e-03 |
2.44136e-04 |
-2.43800e-02 |
26 |
-1.05156e-03 |
2.44029e-04 |
-2.43812e-02 |
27 |
-1.05836e-03 |
2.47223e-04 |
-1.36041e-02 |
28 |
-1.05841e-03 |
2.47049e-04 |
-1.36049e-02 |
29 |
-9.53136e-04 |
2.44082e-04 |
-2.53165e-02 |
30 |
-1.15743e-03 |
2.47136e-04 |
-1.45364e-02 |
31 |
-1.05493e-03 |
2.45531e-04 |
-3.23275e-02 |
32 |
-1.05499e-03 |
2.45683e-04 |
-3.23285e-02 |
Вычисляя прогиб, следует учитывать направление местных осей координат, потому что перемещения узлов представлены относительно ОСК. К примеру, для стержня № 1 (стойка) направление осей МСК и ОСК совпадает, поэтому перемещения начала и конца стержня выбираются относительно оси OX и OY, а для стержня № 9 (балка) направления ОСК и МСК не совпадают, тогда в качестве прогибов следует рассматривать перемещения относительно оси OY и OZ. Вычисленные значения максимальных прогибов каждого стержня представлены в таблице 2.10, там же приводится результат проверки условия жесткости: «Да» - условие жесткости удовлетворяется; «Нет» - не удовлетворяется.
Таблица 2.10 – Прогибы стержней
№ КЭ |
Максимальн. прогиб, м |
Проверка условия |
№ КЭ |
Максимальн. прогиб, м |
Проверка условия |
1 |
3,21418E-04 |
Да |
24 |
5,14286E-06 |
Да |
2 |
2,03990E-04 |
Да |
25 |
1,28334E-03 |
Да |
3 |
3,21987E-04 |
Да |
26 |
1,46173E-03 |
Нет |
4 |
2,19041E-04 |
Да |
27 |
9,53464E-04 |
Да |
5 |
1,36089E-03 |
Нет |
28 |
1,28357E-03 |
Да |
6 |
1,35986E-03 |
Нет |
29 |
1,46193E-03 |
Нет |
7 |
2,40703E-03 |
Нет |
30 |
9,53622E-04 |
Да |
8 |
2,40791E-03 |
Нет |
31 |
4,61905E-07 |
Да |
9 |
4,14179E-03 |
Нет |
32 |
2,35952E-07 |
Да |
10 |
6,33929E-08 |
Да |
33 |
2,59858E-03 |
Нет |
11 |
3,60424E-04 |
Да |
34 |
3,90208E-04 |
Да |
12 |
4,14259E-03 |
Нет |
35 |
3,89708E-04 |
Да |
13 |
6,33190E-08 |
Да |
36 |
2,59758E-03 |
Нет |
14 |
3,61112E-04 |
Да |
37 |
2,58519E-03 |
Нет |
15 |
8,08333E-07 |
Да |
38 |
3,88458E-04 |
Да |
16 |
4,12500E-07 |
Да |
39 |
3,88125E-04 |
Да |
17 |
3,56010E-03 |
Нет |
40 |
2,58463E-03 |
Нет |
18 |
2,84583E-07 |
Да |
41 |
1,89226E-03 |
Нет |
19 |
6,86717E-03 |
Нет |
42 |
4,45795E-03 |
Нет |
20 |
3,55077E-03 |
Нет |
43 |
1,89221E-03 |
Нет |
21 |
1,84167E-07 |
Да |
44 |
4,45800E-03 |
Нет |
22 |
6,85531E-03 |
Нет |
45 |
1,25000E-06 |
Да |
23 |
2,73095E-06 |
Да |
- |
- |
- |
Анализ таблицы 2.10 показывает, что стержни № 5–9, 12, 17, 19, 20, 22, 26, 29, 33, 36, 37,40–44 не удовлетворяют требованию жесткости, следовательно, геометрические характеристики данных стержней необходимо увеличивать до тех пор, пока не будет выполняться условие жесткости.
Путем последующего подбора из сортамента были выбраны следующие типы сечений:
Тип сечения № 2. Швеллер № 33: h=33 см, b=10,5 см, d=0,7 см, t=0,75 см, F=46,5 см2; Ix-x =7080 см4; Iy-y=410 см4; Iкр=14,98 см4.
Тип сечения № 4. Уголок № 25х2,2: b=25 см, d=2,2 см, F=106,1 см2; Ix-x =6270 см4; Iкр=177,46 см4.
Тип сечения № 5. Уголок № 20х2: b=20 см, d=2 см, F=76,5 см2; Ix-x =2871 см4; Iкр=106,66 см4.
Тип сечения № 6. Двутавр № 24: h=24 см, b=11,5 см, d=0,56 см, t=0,85 см, F=34,8 см2; Ix-x =3460 см4; Iy-y=198 см4 ; Iкр=6,11 см4.
Тип сечения № 7. Швеллер № 20: h=20 см, b=7,6 см, d=0,52 см, t=0,87 см, F=23,4 см2; Ix-x =1520 см4; Iy-y=113 см4; Iкр=1,99 см4.
Результаты прогибов для стержней схемы с измененными геометрическими характеристиками представлены в таблице 2.11.
Таблица 2.11– Прогибы стержней
№ КЭ |
Максимальный прогиб, м |
№ КЭ |
Максимальный прогиб, м |
№ КЭ |
Максимальный прогиб, м |
1 |
1,6464E-04 |
16 |
2,0779E-06 |
31 |
1,6619E-06 |
2 |
9,4458E-05 |
17 |
8,1434E-04 |
32 |
1,1879E-06 |
3 |
1,6571E-04 |
18 |
1,9470E-06 |
33 |
3,1883E-04 |
4 |
9,3879E-05 |
19 |
1,2210E-03 |
34 |
4,8708E-05 |
5 |
3,9662E-04 |
20 |
8,0955E-04 |
35 |
4,6208E-05 |
6 |
3,9514E-04 |
21 |
1,9451E-06 |
36 |
3,1442E-04 |
7 |
8,4755E-04 |
22 |
1,2156E-03 |
37 |
3,1884E-04 |
8 |
8,4892E-04 |
23 |
2,8238E-06 |
38 |
4,8271E-05 |
9 |
1,2277E-03 |
24 |
3,7667E-06 |
39 |
4,7033E-05 |
10 |
1,4539E-06 |
25 |
1,0595E-03 |
40 |
3,1655E-04 |
11 |
5,0677E-06 |
26 |
8,8133E-04 |
41 |
2,2714E-04 |
12 |
1,2288E-03 |
27 |
5,2964E-04 |
42 |
1,3152E-03 |
13 |
1,4550E-06 |
28 |
1,0608E-03 |
43 |
2,2540E-04 |
14 |
5,6457E-07 |
29 |
8,8244E-04 |
44 |
1,3176E-03 |
15 |
2,9083E-06 |
30 |
5,3011E-04 |
45 |
1,6625E-05 |
Анализ таблицы 2.11 показывает, что значения прогибов стержней меньше допускаемых, следовательно, выбранные поперечные сечения элементов удовлетворяют условию жесткости. Для завершения поверочного расчета выбранных поперечных сечений элементов проводится расчет внутренних усилий и напряжений. В таблице 2.12 представлены окончательные значения напряжений в каждом стержне схемы.
Таблица 2.12– Напряжения в стержнях схемы
№ КЭ |
Напряжения в стержнях, МПа |
№ КЭ |
Напряжения в стержнях, МПа |
||
в начале |
в конце |
в начале |
в конце |
||
1 |
26,43 |
70,25 |
24 |
22,20 |
22,32 |
2 |
38,89 |
55,43 |
25 |
114,26 |
59,33 |
3 |
25,73 |
72,59 |
26 |
98,86 |
41,19 |
4 |
38,20 |
57,72 |
27 |
14,58 |
116,71 |
5 |
90,31 |
107,89 |
28 |
114,35 |
59,40 |
6 |
90,49 |
107,97 |
29 |
98,93 |
41,16 |
7 |
84,43 |
102,01 |
30 |
14,57 |
116,75 |
8 |
84,59 |
102,07 |
31 |
10,95 |
10,96 |
9 |
38,09 |
52,51 |
32 |
10,96 |
10,97 |
10 |
21,04 |
13,16 |
33 |
1,00 |
32,55 |
11 |
14,29 |
35,14 |
34 |
33,15 |
34,56 |
12 |
38,17 |
52,45 |
35 |
34,56 |
33,25 |
13 |
21,15 |
13,22 |
36 |
32,66 |
1,02 |
14 |
14,19 |
35,24 |
37 |
1,15 |
32,56 |
15 |
1,45 |
1,47 |
38 |
33,22 |
34,75 |
16 |
1,43 |
1,48 |
39 |
34,75 |
33,26 |
17 |
1,19 |
21,27 |
40 |
32,58 |
1,15 |
18 |
15,24 |
26,00 |
41 |
1,38 |
39,71 |
19 |
31,52 |
1,67 |
42 |
39,80 |
1,47 |
20 |
1,17 |
21,18 |
43 |
1,46 |
39,91 |
21 |
15,09 |
25,85 |
44 |
39,92 |
1,47 |
22 |
31,42 |
1,66 |
45 |
0,19 |
0,22 |
23 |
22,31 |
22,48 |
- |
- |
- |
Величины напряжений во всех КЭ меньше допускаемых, следовательно, поверочный расчет можно считать законченным. Следует заметить, что иногда для проверки жесткости элементов конструкции требуется вводить дополнительные узлы в КЭМ в середине балок, чтобы определить требуемые значения перемещений.