1. Диффузия из постоянного источника

Этот случай обычно реализуется в опытах по диффузии примесных атомов из газовой фазы или из нанесенного на поверхность образца толстого слоя, когда на границе образца в течение всего диффузионного отжига поддерживается постоянная концентрация примеси. Начальные и граничные условия

(1.14)

Решением уравнения (1.13) при диффузии из постоянного источника является

(1.15)

где - функция ошибок (error function; встречаются также термины: гауссовский интеграл, интеграл вероятности, функция Крампа).

Часто вместо выражения (1.15) используют

(1.16)

Здесь – дополнительная функция ошибок.

На рис. 1.2 приведена графическая интерпретация уравнений (1.15) и (1.16) в виде зависимости относительной концентрации диффундирующей примеси из постоянного источника от глубины диффузии для трех различных значений времени диффузии .

Рис. 1.2. Зависимость относительной концентрации диффундирующей примеси из постоянного источника от глубины диффузии (t₃>(t₂>t_l)

Функция ошибок обладает свойствами, которые иногда бывает полезно знать при анализе концентрационных профилей примесных атомов:

(1.17)

Функции erf z и erfc z можно представить в виде рядов

(1.18)

(1.19)

а приближенные значения этих функций можно оценить соответственно по формулам:

(1.20)

(1.21)

2. Диффузия из слоя конечной толщины (из непостоянного источника)

Начальные условия

(1.26)

а решение уравнения (1.13) для диффузии из ограниченного источника определяется выражением

. (1.27)

Рис. 1.3. Зависимость относительной концентрации диффундирующей примеси из непостоянного источника от глубины диффузии (t₃>(t₂>t_l)

На рис. 1.3 приведена графическая интерпретация уравнения (1.27) в виде зависимости относительной концентрации диффундирующей примеси из непостоянного источника от глубины диффузии для трех различных значений времени диффузии .

3. Диффузия из равномерно насыщенного тела

Такой случай обратной диффузии встречается при испарении атомов из равномерно легированного материала. Начальные и граничные условия и решение уравнения диффузии (1.13) имеют вид

(1.22)

(1.23)

4. Диффузия из “концентрационной ступеньки”

Пусть в начальный момент концентрация атомов при x<0 постоянна, а при х>0 равна нулю, т.е. N(-х, 0)=N₁ и N(x, 0)=0. В этом случае концентрационное распределение атомов описывается выражением

(1.24)

Если в начальный момент времени концентрация при х>0 отлична от нуля и постоянна, N(x, 0)=N₂, то концентрационный профиль, возникающий в результате диффузионного перераспределения, подчиняется соотношению

. (1.25)

График этой функции представлен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Концентрационный профиль примеси (штриховая линия), возникающий при диффузии из «концентрационной ступеньки» (сплошная линия).

В начальный момент времени зависимость N(x,0) представляет собой «концентрационную ступеньку» (сплошная линия). С течением времени «ступенька» все более «размывается» (штриховая линия), стремясь выровнять концентрации N₁ и N₂.