Гильбертово пространство с непрерывным базисом
Базис
ортов
,
где
;
k
– непрерывное,
.
Размерность пространства бесконечная.
Условие ортонормированности базиса
,
(0.11)
где
– дельта-функция.
Разложение функции по базису
.
(0.12)
Спектр непрерывный
.
(0.13)
Совпадение спектров функций означает равенство функций.
Подстановка (0.12) в (0.13) дает тождество с учетом (0.11) и фильтрующего свойства дельта-функции.
Условие полноты базиса
.
(0.14)
Подстановка (0.13) → (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.
Теорема Парсеваля
(0.15)
доказывается с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).
Преобразование фурье
Древнегреческий математик Аполлоний представил сложное движение планеты в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам в III в до н.э.
Французский математик Фурье разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г.
Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)
Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)
Бесконечномерный базис гармонических функций
,
;
.
Орт
является решением волнового
уравнения Гельмгольца
,
и представляется плоской волной, распространяющейся вдоль оси x:
.
Герман Гельмгольц (1821–1894)
Базис
с непрерывным спектром удовлетворяет:
условию ортонормированности
,
условию полноты
.
Преобразование Фурье – разложение функции по базису
,
(1.1)
,
(1.2)
– оператор
Фурье,
действующий на функцию, находящуюся в
скобках
,
и дающий функцию, зависящую от k;
– оператор
обратного преобразования Фурье,
дающий функцию, зависящую от x;
– Фурье-образ
или спектр функции
;
k
и x
– Фурье-сопряженные
переменные,
– безразмерная;
– ядро
преобразования, не зависящее от
преобразуемой функции.
Оптическое преобразование Фурье
Анализатор частот – Анализатор волновых чисел
спектрометр
На призму с дисперсией падает Когерентная волна падает
волна с зависимостью на плоский транспарант с
от
времени
.
коэффициентом пропускания
.
Призма преобразует: Линза преобразует:
время → частота, координата → волновое число,
,
,
– распределение амплитуд
– распределение амплитуд
по углам и частотам. в фокальной плоскости
,
,
Теоремы Фурье
Линейность преобразования
.
(1.5)
Следует из линейности операции интегрирования в (1.1).
Масштабное преобразование аргумента функции
.
(1.6)
Доказательство:
Из (1.1)
.
Пример: Функция Гаусса
,
.
При
масштабном преобразовании
с
– сжатие по x
в 2 раза (переход от сплошной линии к
пунктирной), растяжение по k
и уменьшение амплитуды в 2 раза.
Инверсия аргумента
Из
(1.6) при
.
(1.7)
Следовательно, четности функции и образа совпадают.
Теорема о частотной полосе
,
(1.8)
где дисперсии
;
.
Уменьшение
пространственной протяженности функции
приводит к увеличению ее частотной
протяженности
,
и наоборот.
Равенство в (1.8) выполняется для функции Гаусса
,
,
,
,
.
Смещение аргумента
.
(1.9)
Доказательство:
Используем (1.1)
,
получаем
.
Фазовый сдвиг
.
(1.10)
Доказательство:
Из (1.1)
.
Комплексное сопряжение
,
(1.11)
Доказательство:
Из (1.1)
,
.
Следствия (1.7) и (1.11)
,
:
1) если – четная и вещественная, то вещественная.
Доказательство:
Используем
,
,
тогда
;
2) если – вещественная и нечетная, то мнимая;
3) если – мнимая и четная, то мнимая;
4) если – мнимая и нечетная, то вещественная.
Теорема Парсеваля
.
(1.14)
В физике выражает закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.
Доказательство:
Используем (1.1) и (1.2)
,
.
Получаем
,
тогда
=
,
где изменен порядок интегрирований.
Обобщенная теорема Парсеваля
.
(1.15)
При
и
получаем (1.14).
Ортонормированность базиса и его образа
Если функции ортонормированны
,
(1.16)
то их фурье-образы также ортонормированны
.
(1.17)
В
(1.14) полагаем
и
.
Интегральная теорема
Прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию
,
.
(1.20)
Доказательство: Из
, (1.1)
, (1.2)
с заменой порядка интегрирований
,
где использованы свойства дельта-функции:
,
.
Следовательно, для непрерывной функции получаем операторы тождественного преобразования:
,
.
(1.20а)