6.3. Ламінарний плин рідини в трубах

Для встановлення закону розподілу швидкостей по перетині при ламінарному режимі розглянемо потік рідини в горизонтальній круглій трубі радіусом (рис. 22, а, б), що знаходиться в сталому рівномірному русі. Виділимо в цьому потоці навколо його осі обсяг рідини у виді циліндра довжиною і радіусом і спроектуємо всі діючі на нього сили на вісь потоку. При сталому рівномірному русі сума проекцій цих сил буде дорівнює нулю . Так, як. лінії дії і рівнобіжні, a – нормальна до осі потоку, то тому .

Як видно з рис. 22, а, , де і – тиск в перетинах і .

Відповідно до рівняння (8) , де – бічна поверхня циліндра; знак мінус прийнятий тому, що зі збільшенням відстані від осі потоку швидкість часток рідини зменшується. Отже, .

Підставимо значення і з отриманих виражень у рівняння рівноваги циліндра . Зробивши в рівнянні скорочення і розділивши перемінні, одержимо , чи після інтегрування Для визначення постійної інтегрування задамося початковими умовами: при тобто у стінки труби, унаслідок прилипання часток рідини . Тоді , відкіля . Підставляючи значення , одержимо закон розподілу швидкостей по перетині круглої труби при ламінарному режимі руху,

(81)

При , тобто на осі труби ,

(82)

Так, як. рівняння (81) є рівнянням параболоїда обертання з вершиною, що лежить на осі труби, то при ламінарному режимі руху епюра швидкостей по перетині буде мати форму квадратичної параболи (рис. 22, в). Знаючи закон розподілу швидкостей по перетині, можна обчислювати аналітично витрату і середню швидкість потоку. Виділимо в поперечному перерізі потоку елементарний живий перетин кільцевої форми радіусом і шириною (див. рис. 22, б). Елементарна витрата рідини через такий перетин буде . Підставимо в це рівняння замість його значення з рівняння (81), а замість його значення

Проінтегрував це вираження, одержимо

(83)

Середня швидкість потоку при ламінарному режимі руху може бути знайдена з рівняння (45) , якщо в нього замість підставити його значення з рівняння (83), а замість його значення ,

(84)

Як видно з рівнянь (84) і (82), при ламінарному режимі руху відношення середньої швидкості до максимального

6.4. Ламінарний плин рідини у вузьких щілинах

Вище був розглянутий найбільш простий випадок ламінарного режиму – рівномірний рух рідини в круглій трубі. Однак у техніці мають місце і більш складні випадки, до числа яких відноситься ламінарний рух у плоских і кільцевим.

Розглянемо рівномірний ламінарний рух рідини в плоскій щілині (зазорі між двома пластинками) довжиною шириною і висотою (рис. 23). Позначимо різницю тисків на вході і виході з щілини .

Застосовуючи той же метод, що був використаний для висновку рівняння 81, можна одержати рівняння для визначення швидкості в будь-якій крапці щілини по вертикалі

(85)

Максимальна швидкість буде при

(86)

Для визначення витрати рідини необхідно обчислити інтеграл

(87)

відкіля витрата рідини через щілину (витік через зазор)

(88)

Середня швидкість потоку може бути отримана як частка від розподілу витрати Q на живий перетин (площа щілини) , тобто

(89)

Таким чином, відношення середньої швидкості до максимальної для плоскої щілини .

Отримані формули можуть бути використані також і для концентричних кільцевих щілин (наприклад, щілин, утворених співвісними плунжером діаметром і циліндром діаметром ). якщо висота щілини (величина зазору між плунжером і циліндром) значно менше діаметра плунжера, тобто . Для визначення витрати (витоку) рідини через щілину в цьому випадку в рівняння (88) замість варто підставляти .

У випадку ексцентричної кільцевої щілини в (88) замість варто підставляти , де – ексцентриситет між осями плунжера і циліндра.