5. Основи гідродинаміки

Гідродинаміка – наука про рух рідини під дією зовнішніх сил і про механічну взаємодію між рідиною і дотичними з нею тілами при їхн відносному русі.

5.1. Диференціальні рівняння руху і балансу енергії для нев'язкої рідини

У нев'язкій рідини відсутні сили внутрішнього тертя і, отже, розсіювання енергії при русі, тому запас енергії в одиниці маси рідини, що рухається, постійний. При русі крім об'ємних і поверхневих сил у рідині діють і сили інерції. Відповідно до принципу Даламбера для одиниці маси рідини рівняння рухи може бути отримано, якщо до проекцій масових і поверхневих сил (24) додати зі зворотним знаком проекції сил інерції, віднесені до одиниці маси :

(48)

При сталому русі ; ; . Підставивши значення проекцій , із системи (43), одержимо рівняння Ейлера:

(49)

Мірою руху рідини є енергія, що виміряється роботою, що може зробити рідина при гальмуванні (кінетична енергія), та роботою, що можуть зробити масові і поверхневі сили (потенційна енергія) при переході від розглянутого положення в просторі до нульового (для останнього потенційна енергія умовно вважається рівної нулю). Отже, для одержання рівняння енергії необхідно знайти роботу, що можуть зробити сили при переміщенні маси на відрізок по лінії струму.

Помноживши члени рівняння (49) на масу і проекцію на вісь (рис. 17), одержимо диференціальне рівняння енергії в проекціях на вісь

(50)

Виразимо в останньому доданку рівняння (50) проекцію переміщення через швидкість і час і зробимо елементарні перетворення

У рівнянні (50) останній доданок представляємо у виді і за аналогією для інших осей і . Тоді

Склавши почленно ці рівняння, одержимо вираження для сповненої енергії

Так, як вираження в дужках є повними диференціалами і , то остаточне рівняння енергії буде

(51)

У рівняння (51) входить величина маси , що переміщається, яка може бути різною. Для одержання загального вираження, що не залежить від значення маси, повний запас енергії відносять до одиниці маси, обсягу чи сили ваги.

Енергія, віднесена до одиниці маси, називається питомою енергією е і широко використовується при дослідженні руху газів з перемінною щільністю. Для одержання питомої енергії розділимо рівняння (51) на :

(52)

Розмірність усіх членів цього рівняння – .

Досліджуючи рух газів, при якому можна вважати , зручно користатися енергією, віднесеної до одиниця об'єму, для чого рівняння (51) необхідно розділити на обсяг . Маса, ділена на обсяг, дає щільність і рівняння прийме вид

(53)

Усі члени рівняння виражають тиск, одиниця якого – .

Найбільше широко в гідравліці, особливо при дослідженні руху краплинних рідин, користаються енергією, віднесеної до одиниці сили ваги, для чого рівняння (51) необхідно розділити на . Тоді

(54)

Усі члени рівняння мають розмірність довжини , називаної в гідравліці напором, одиниця якого – . Напір виражається висотою в метрах стовпа рідини, що рухається.