3.9. Закон Архімеда

Р озглянемо занурене в спочиваючу рідину тверде тіло довільної форми, обсяг якого (рис. 12). Відповідно до рівняння (37) на поверхню цього тіла з боку рідини буде діяти сила . Якщо розсікти тіло вертикальними площинами, рівнобіжними площинам і , таким чином, щоб площі перетинів вийшли максимальними, то неважко показати, що горизонтальні складові і дорівнюють нулю, тому що на кожну з цих частин будуть діяти рівні і протилежно спрямовані сили: і , відкіля ; і , відкіля .

Вертикальна складова сили тиску рідини на тіло де – обсяг , – обсяг , – результуючий обсяг тіла тиску, рівний у даному випадку обсягу зануреного в рідину тіла (обсягу ) і є фіктивним.

Підставляючи в рівняння (37) значення , і , одержимо

(41)

На занурене в рідину тіло діє архімедова сила, спрямована вертикально нагору і рівна силі ваги рідини в обсязі зануреної частини тіла. Це є закон Архімеда, відкритий у 250 р. до н.е.

4. Основи кінематики рідини

Кінематика рідини, будучи частиною гідравліки, описує рух рідини поза залежністю від того, які динамічні умови чи викликають підтримують даний рух.

4.1. Способи опису руху

Рідина, що рухається, являє собою середовище сукупності часток, що переміщаються з різними параметрами, що змінюються від координат і часу. Частка суцільного середовища – це дуже малий елемент обсягу середовища (елементарний обсяг), якому можна вважати крапковим. У кінематиці рідини можливі два способи опису руху – Лагранжа і Ейлера.

По способі Лагранжа рух рідини задається шляхом указівки залежності координат визначеної (наміченої) частки рідини від часу. Частка рідини, що рухається, описує в просторі траєкторію, уздовж якого змінюється швидкість. На рис. 13, а показана траєкторія руху частки в нерухомій системі координат, де за визначений час координати частки змінювалися з , на , за час ; , за час і т.д. Таким чином, при описі руху перемінними є швидкість, прискорення і координати частки. Практично для більшості інженерних задач немає необхідності в завданні параметрів руху окремих часток, тому спосіб Лагранжа застосовується тільки в особливих випадках: наприклад, для опису переносу рідиною дрібних твердих часток.

Спосіб Ейлера полягає в тім, що рух визначається полем швидкостей рідини в просторі в кожен момент часу, тобто описується рух різних часток, що проходять через намічені крапки простору, заповненого рідиною.

При цьому перемінними є швидкості часток, а координати крапки простору, через які проходять частки, залишаються постійними (відомими). На рис. 13, б показані зафіксовані крапки , , у просторі, через які в різний час , проходять частки зі швидкостями , , , , , . Остання обставина значно полегшує проведення теоретичних і експериментальних досліджень, тому що координати зафіксованих крапок у просторі відомі і постійні.

При рішенні більшості інженерних задач необхідно знати, з якими швидкостями різні частки рідини проходять через визначені елементи чи конструкції інженерних споруджень чи підходять до їх. Тому спосіб опису руху Ейлера прийнятий основним.

По Ейлеру задане поле швидкостей у просторі в кожен момент часу в проекціях швидкості на осі нерухомої прямокутний декартової системи координат:

; ; . (42)

Проекції прискорень елементарних обсягів середовища в цій системі координат за правилом диференціювання складної функції будуть:

;

;

.

Знаючи, що є проекцією швидкості в момент часу на координатну вісь , а і – відповідно на координатні осі і , і підставляючи їх у рівняння проекцій прискорень одержимо:

(43)

Розглянемо кінематичний зміст кожного доданка в правій частині системи рівнянь (43). Останні доданки представляють проекції локального прискорення, що обумовлюється зміною поля швидкостей з часом при фіксованих координатах, тобто місцевими локальними змінами. Перші три доданки в правій частині (43) дають проекції конвективного прискорення, що утвориться за рахунок зміни координат частки, що відповідають її пересуванню (конвекції). Конвективне прискорення можливе тільки при русі рідини і газів.