Основы проектирования машин / ГЛАВА 3

ГЛАВА 3.4. ТЕОРИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Знание основ теории механических колебаний необходимо инженерам, работающим в различных областях машино-, авиа- и судостроения, промышленного и транспортного строительства и т. д. Колебательные процессы, протекающие в разного рода технических устройствах, оказывают огромное, часто даже решающее, влияние на условия эксплуатации конструкций, их прочность и долговечность, а также здоровье работающих с подобной техникой людей. Причем надо отметить, что механические колебания могут как причинить большой вред, так и принести значительную пользу. Несмотря на специфику связанных с колебаниями практических задач, решаемых каждой из названных областей, все они объединены общими принципами и методами, составляющими суть теории колебаний. Дело в том, что совершенно разные по физической природе колебательные процессы описываются одинаковыми по форме уравнениями. Специфика каждой конкретной задачи фиксируется входящими в эти уравнения константами, зависящими от физической природы изучаемого явления.

В настоящей главе рассматривается теория малых линейных механических колебаний, имеющая наибольшее применение в технике. Вначале исследуются свободные колебания, т. е. колебания автономных систем, происходящие под действием восстанавливающих и, в общем случае, диссипативных сил около состояния равновесия (напомним, что восстанавливающими называются силы, возникающие при отклонении системы от положения равновесия и направленные таким образом, чтобы вернуть систему в это положение; в роли восстанавливающих выступают, как правило, появляющиеся при деформировании упругие силы, а также сила тяжести и сила Архимеда). Затем - вынужденные колебания, вызываемые и поддерживаемые так называемыми вынуждающими силами, зависящими от времени и не зависящими от характера движения системы.

Свободные колебания линейных систем с несколькими степенями свободы.

Дифференциальное уравнение колебательного движения. Свободные колебания в чистом виде встречаются в механических системах не слишком часто. Тем не менее их изучение очень важно, так как именно характеристики свободных колебаний, такие как собственные частоты и собственные формы, полностью определяют индивидуальные физические и динамические свойства механической системы и имеют важнейшее значение при анализе вынужденных колебаний.

Существует несколько способов составления дифференциальных уравнений колебательного движения. Наиболее общим из них является метод уравнений Лягранжа [4, 29]. Однако, как это часто бывает с общими методами, во многих задачах о колебаниях его применение неоправданно громоздко, и удобнее пользоваться более непосредственными приемами. Рассмотрим один из таких способов, называемый прямым методом записи уравнения движения (существует также и обратный метод, но здесь он рассматриваться не будет). Согласно этому методу, составляющие систему тела трактуются как свободные материальные точки (или твердые тела), находящиеся под действием восстанавливающих сил, выражаемых через обобщенные координаты. Для этих материальных точек (твердых тел) и записываются дифференциальные уравнения движения.

Основное дифференциальное уравнение свободных колебаний консервативных упругих линейных систем с несколькими степенями свободы, составленное прямым способом, рассмотрим на примере системы, состоящей из

двух грузов с массами m1 и m2 , соединенных двумя упругими пружинами с жесткостями k11 и k12 (рис. 3.4.1a). Эта система обладает двумя степенями свободы. При движении грузов происходит деформирование упругих

элементов системы. Если грузы перемещаются на расстояния x1 и x2 от положения равновесия, в котором пружины не деформированы, то удлинения пружин в процессе движения равны ∆l1 = x1 , ∆l2 = x2 − x1 .

Деформации пружин вызваны возникновением реактивных сил упругости R1 и R2 , определяемых удлинениями

∆l1 и ∆l2 (рис. 3.4.1b):

a)

b)

Рис. 3.4.1

Дифференциальные уравнения движения грузов в соответствии со вторым законом Ньютона имеют вид

Как видно из формулы (3.4.3), на осадку пружины влияет перемещение соседнего участка. Если перейти к локальной системе координат, то в общем виде деформационное состояние системы с s степенями свободы

обобщенных координат могут выступать, например, линейные перемещения при поступательном движении или угловые перемещения при вращательном. Для статической упругой линейной системы общего вида справедливо

колебательной системы, а k - номер соседней массы, влияющей на деформационное состояние текущей. Коэффициенты влияния удовлетворяют условию симметрии,

δ jk = δ jk ,

выражающему принцип взаимности перемещений.

Введя в рассмотрение матрицу - столбец (вектор) обобщенных координат qr , матрицу - столбец

Соотношения (3.4.7) и (3.4.8) позволяют записать дифференциальное уравнение движения статической

По физической природе выражение [a]q&r& представляетr собой динамическую часть общего усилия,

действующего на элемент динамической системы, а [c]q характеризует ее упругие свойства. Вид коэффициентов

aij и cij зависит от конкретной задачи и способа записи дифференциального уравнения. Например, упомянутый выше прямой способ особенно удобен при изучении колебаний систем цепной структуры, если упругие силы

несложно выражаются через перемещения двух соседних тел.

a)

принято располагать в порядке возрастания). Зная собственные частоты, можно перейти к решению уравнений

(3.4.16). Подставив в (3.4.16) одно из найденных значений квадрата частоты, например ωi2 , получим систему s

линейных однородных уравнений относительно амплитуд A1i , A2i ,K, Asi (здесь первый индекс обозначает номер координаты, а второй - номер собственной частоты). Из общих свойств однородных систем линейных

алгебраических уравнений [6, 14] следует, что ранг матрицы полученной системы равен s −1 (так как равные корни по предположению отсутствуют). Это означает, что из s уравнений системы независимыми являются только

s −1. Поскольку s −1 уравнений связывают между собой s амплитуд, все амплитуды можно выразить через какую-либо одну, например через первую, значение которой произвольно:

Aji