Основы проектирования машин / ГЛАВА 3.1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ

ГЛАВА 3.1. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Три группы основных уравнений. Рассмотренные ранее частные случаи определения напряжений ( глава 2.7 ) и деформаций (глава 2.6 ) следует дополнить решением задач теории упругости в общем виде. Теорией упругости называется раздел механики сплошной среды, который занимается изучением поведения упругих твердых тел при их нагружении. При этом деформируемая среда считается однородной и изотропной, т. е. ее упругие свойства одинаковы во всех направлениях. Кроме того, предполагается, что среда деформируется линейно (для материала среды выполняется закон Гука), причем перемещения и деформации достаточно малы.

В общем случае расчет напряженно - деформированного состояния в точке (т. е. расчет на прочность и жесткость) можно провести с помощью системы фундаментальных уравнений теории упругости. Получение точного аналитического решения этих уравнений оказывается достаточно сложной процедурой. По этой причине аналитические методы имеют ограниченное применение. Единственным выходом из такого положения является использование приближенных численных методов, реализация которых возможна с помощью современной вычислительной техники. С помощью численных методов решения фундаментальных уравнений теории упругости можно выполнить все необходимые вычисления для корректного описания напряженно - деформированного состояния бесконечно большого числа возможных вариантов конструкций при произвольном нагружении и закреплении (см. далее главу 3.3 ). С этой целью разрабатывается специализированное программное обеспечение, позволяющее решать комплекс этих и смежных с ними задач.

Перейдем теперь к непосредственному выводу уравнений, являющихся основанием для анализа напряженно - деформированного состояния в точке численными методами. Эти уравнения можно разделить на три группы.

Первая группа, или статические уравнения, описывает равновесие выделенного в окрестности некоторой точки тела элементарного параллелепипеда. Вторая группа уравнений, или обобщенный закон Гука, выражает зависимость между напряжениями и деформациями элемента. Поскольку в этих уравнениях учитываются физико - механические свойства материала, их называют физическими. Наконец, уравнения третьей группы связывает деформации элемента тела с перемещениями его точек вследствие действия приложенной нагрузки - это

геометрические уравнения.

Уравнения равновесия элемента объема. Рассмотрим некоторое тело, нагруженное произвольной системой сил (рис. 2.7.1). Для анализа напряженно - деформированного состояния тела в окрестности произвольно

Рис. 3.1.1

Напомним, что первый индекс в обозначениях напряжений указывает площадку, на которой действует напряжение, а второй - его направление; поскольку в обозначениях нормальных напряжений фигурируют два одинаковых индекса, обычно один из них опускают.

Согласно закону парности касательных напряжений (2.4.14), имеют место равенства

Поскольку, как следует из (3.1.2), матрица напряжений (3.1.1) симметрична, в механике вводят вектор -

столбец напряжений σr, который записывается как

Здесь и далее верхний индекс “ T ” означает транспонирование вектора, что позволяет для сокращения записывать его в строку, а не в столбец.

Кроме напряжений, приложенным к граням, в общем случае на выделенный элемент объема могут

действовать массовые силы, компоненты которых в проекции на координатные оси обозначим как X , Y и Z . Примерами массовых сил могут служить сила тяжести, центробежные нагрузки, а также некоторые другие силы,

которые равномерно распределены в объеме рассматриваемого тела.

Рис. 3.1.2

Ясно, что после приложения внешней нагрузки выделенный элемент объема находится в равновесии. Аналитически условие равновесия можно получить, спроектировав все силовые факторы на оси координат.

Выполним операцию проектирования, например, на ось x . С этой целью на рис. 3.1.2 изображены только те силовые факторы, которые направлены вдоль этой оси. Тогда имеем

деления на dV = dxdydz окончательно получаем систему дифференциальных уравнений равновесия Навье, а

именно

Представим трехмерную задачу как совокупность плоских проекционных - такой подход позволяет существенно упростить картину без ограничения общности. На рис. 3.1.4 изображено положение некоторого

элемента плоскости XOY до приложения нагрузки и после. Примем за начало отсчета деформаций точку A с

координатами ( x A , yA ), а конечное положение этой точки обозначим через A1 , так что компоненты линейного

перемещения точки A по направлениям координатных осей равны как u и v . Будем считать, что эти компоненты являются малыми величинами, меняющимися непрерывно по объему тела; деформациями, связанными с

искривлением ребер выделенного элемента, пренебрегаем. Если тело подвергается деформации, то в условиях принятых допущений при переходе от точки A к соседней точке B , расположенной на оси x , изменяется только абсцисса на величину dx , так что перемещения точки B отличаются от перемещений точки A на величины

частных приращений ∆xu и ∆x v , которые можно приближенно заменить частными дифференциалами (линейными частями приращений)

Угловая деформация выделенного элемента, в соответствии с (2.1.5), определяется как уменьшение первоначально прямого угла CAB . И рисунка (3.1.4) видно, что это уменьшение равно сумме углов поворотов ребер α1 и α2 . Поскольку углы малы, то

Энергетические уравнения. В случае объемного деформирования энергия U0 , накопленная в единице объема, как следует из (2.7.13), равна