Основы проектирования машин / ГЛАВА 3

Можно доказать, что если все элементы матрицы демпфирования (3.4.37) положительны, то вещественные части всех корней характеристического уравнения (3.4.40) отрицательны. Каждому вещественному отрицательному

корню p = −ω2 (в том числе и вещественной части комплексного корня) соответствует частное решение вида

с вещественным значением Aj . Такие координаты со временем убывают, асимптотически приближаясь к нулевым значениям. Если все корни (3.4.40) вещественны и отрицательны, то система будет асимптотически приближаться

к положению равновесия, совершая монотонное затухающее движение неколебательного характера - апериодическое движение. Такое движение характерно для систем с сильным трением. Если среди корней

уравнения (3.4.40) находятся комплексно сопряженные вида p =α +iβ , p′ =α −iβ , α > 0 , то им отвечает затухающее колебательное движение

Общее решение системы (3.4.36) является результатом линейного наложения частных решений (3.4.41) и (3.4.42).

Вынужденные колебания. Как указывалось выше, вынужденные колебания обуславливаются действием внешних возбуждений. Если система воспринимает действие внешнего возбуждения, то дифференциальные уравнения движения перестают быть однородными. В качестве внешнего возбуждения могут выступать силы, приложенные к сосредоточенным массам системы, или движения, возбуждающие некоторую часть системы. В любом случае, независимо от конкретной физической природы, возбуждение является явной функцией времени.

Решение систем (3.4.43) и (3.4.44) целиком определяется видом вынуждающей силы. Общим для любого решения является то обстоятельство, что вследствие неучтенного, но неизбежного сопротивления те колебания,

которые происходят с собственной частотой, постепенно затухают. По прошествии некоторого времени в системе будут присутствовать только движения, совершаемые с частотой вынуждающей силы - так называемые

установившиеся вынужденные колебания.

Гармонические вынуждающие силы. Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому закону

Заметим, что точно такие же результаты получаются, если гармонический закон изменения обобщенных

сил и частных решений представлять в виде exp(iΩt), а не sin(Ωt +ψ).

Наиболее просто системы (3.4.47) - (3.4.48) решаются непосредственно алгебраическими методами, а именно: с помощью формул Крамера (если их определители отличны от нуля), методом Гаусса или любым другим известным в теории линейных алгебраических систем методом. Однако физически более наглядным является другой способ, заключающийся в разложении искомых амплитуд по собственным формам соответствующей однородной задачи. Приведем здесь без вывода частное решение системы (3.4.48), записанное в виде разложения по нормированным собственным формам:

j =1,2,K, s .

Выражение (3.4.49) позволяет сделать несколько выводов относительно характера колебаний в зависимости от соотношения между собственными частотами системы и частотой вынуждающей силы. Так, если

частота Ω вынуждающей силы совпадает с одной из собственных частот системы, например ωi , соответствующий член разложения (3.4.49) с течением времени неограниченно возрастает - наблюдается

явление резонанса. Частота возмущающей силы называется в этом случае критической. Возможен и

противоположный случай, когда при определенных значениях Ω достигается отсутствие колебаний, соответствующих выбранной координате, т. к. их амплитуды обращаются в нуль. Такое явление называется

антирезонансом. Если частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот системы, то отвечающий ей член в разложении (3.4.49) значительно превышает все остальные. Конфигурация системы при этом почти совпадает с соответствующей собственной формой, а сами колебания почти точно воспроизводят форму одного из

собственных главных колебаний.

В качестве примера рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы, на одну из масс которой действует гармоническая вынуждающая сила F sin Ωt (рис. 3.4.4). Как и ранее, за обобщенные

координаты примем отклонения грузов от положения равновесия, q1 = x1 , q2 = x2 . Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид

Рис. 3.4.4

Подставляя в (3.4.50) частное решение (3.4.46), получаем следующую систему алгебраических уравнений для определения амплитуд A1 и A2 :

Если определитель D из (3.4.52) отличен от нуля, решение (3.4.51) можно найти по формулам Крамера:

которое определяет два резонансных значения частоты возмущающей силы, равных собственным частотам ω1 и

ω2 системы. Антирезонанс наступает при условии

Полученный результат иллюстрирует принципиальную возможность подавления нежелательных колебаний. Рассмотренный пример можно трактовать следующим образом: введением в систему специально подобранной

массы m1 .

Произвольные вынуждающие силы.

а) действие произвольной вынуждающей силы на линейную систему с одной степенью свободы.

Дифференциальное уравнение задачи о вынужденных колебаниях линейной системы с одной степенью свободы согласно (3.4.43) имеет вид

Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3.4.56) есть

сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (т. е. уравнения с нулевой правой частью) и некоторого частного решения уравнения (3.4.56). Общее решение однородного уравнения

Частное решение (3.4.56) может быть получено классическим способом, а именно известным методом вариации произвольных постоянных. Но на практике этот метод не нашел большого применения. Дело в том, что аналитически задачу вынужденных колебаний системы удается решить только для чрезвычайно узкого круга систем с несколькими степенями свободы, а для численного решения гораздо удобнее другие методы, например, операционный [2, с. 272]. Суть этого метода заключается в следующем: зная решение уравнения (3.4.56) при какой-то одной известной правой части, можно отыскать его решение при любой другой правой части с помощью интегрирования. Применим этот метод к рассматриваемой задаче.

Пусть в некоторый момент времени t =τ к системе приложен мгновенный обобщенный импульс A0 , так

вид

Функция R(t,τ), описывающая движение, вызванное действием единичного импульса, называется

импульсной реакцией системы или функцией отклика.

Если теперь перейти к произвольной вынуждающей силе, рассматривая ее как бесконечную

последовательность элементарных импульсов, т. е. положив A0 = Q(τ)dτ , и просуммировать влияние всех этих импульсов, при нулевых начальных условиях получим

Интеграл типа (3.4.60) называется интегралом Дюамеля.

b) действие произвольной вынуждающей силы на линейную систему с s степенями свободы. Если действующие на многомассовую колебательную систему вынуждающие силы изменяются не по гармоническому

закону, то в общем случае решение задачи о движении такой системы удобнее всего проводить методом разложения по собственным формам колебаний.

где ηi - нормальные координаты. Тогда система (3.4.44) после некоторых преобразований (подробнее с ними можно ознакомиться, например, в [29]; здесь приводится только окончательный результат) записывается в виде

где Q j - приведенные вынуждающие силы, вычисляемые по формулам

Поскольку каждое из независимых уравнений (3.4.62) описывает колебание некоторой системы с одной степенью свободы, то дальнейшее решение сводится к интегралу Дюамеля (3.4.60).

Рассмотрим в качестве примера хорошо знакомую систему на рис. 3.4.1a, положив, как раньше,

q1 = x1 , q2 = x2 ; k11 = k12 = k; m1 = m2 = m. Собственные частоты и собственные формы этой системы, как уже было найдено, определяются формулами (3.4.29) - (3.4.30). Пусть теперь на левый груз этой

системы действует вынуждающая сила вида

Q = F(1 −e−γt ) ,

где F и γ - известные константы. Приведенные вынуждающие силы согласно (3.4.63) равны

Уравнения движения (3.4.62) приобретают вид

Решаем эти уравнения с помощью интеграла Дюамеля (3.4.60). Положив βi = ωγi , i =1,2 , получаем

Наконец, законы движения xi = xi (t) , как следует из (3.4.61), записываются как