Скачиваний:
67
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
272.16 Кб
Скачать

ГЛАВА 3.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Выше уже неоднократно упоминалось, что точное аналитическое решение возможно только для очень ограниченного круга задач теории упругости. Поэтому для инженерной практики огромное значение имеют приближенные методы. Важность этих методов особенно возрастает в связи с активным внедрением в теорию и практику проектирования вычислительной техники и новейших информационных технологий.

В данной главе мы рассмотрим только два метода, имеющие наибольшее применение для решения прикладных инженерных задач: метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

Характерной особенностью метода конечных элементов, относящегося к так называемым прямым методам , является то, что процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле (таких как перемещения, напряжения, силы) строятся на основе вариационных принципов механики упругого тела без непосредственного использования дифференциальных уравнений. Заметим, что в настоящее время МКЭ является самым эффективным прямым методом приближенного решения прикладных задач механики.

Метод конечных разностей - это метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.

Метод конечных элементов (МКЭ). В основе этого метода лежит представление объекта исследования в виде набора некоторых простых с геометрической точки зрения фигур, называемых конечными элементами, взаимодействующими между собой только в узлах. Расположенные определенным образом (в зависимости от конструкции объекта) и закрепленные в соответствии с граничными условиями конечные элементы, форма которых определяется особенностями моделируемого объекта, позволяют описать все многообразие механических конструкций и деталей.

Например, плоскую ферменную конструкцию можно смоделировать набором плоских стержневых фигур, рамную - набором объемных стержневых элементов, различного рода пластины и оболочки - множеством плоских треугольников или прямоугольников. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм, и т. д. На рис. 3.3.1 показан пример разбивки пластины на конечные элементы - треугольники.

Рис. 3.3.1

Рамные конструкции, как правило, моделируются набором стержневых конечных элементов. Различного рода пластины и оболочки удобно моделировать набором плоских треугольных, либо прямоугольных элементов, а в отдельных случаях и набором более сложных элементов. Геометрически объемные тела удобно представлять в виде совокупности элементарных пирамид, параллелепипедов и призм.

Такое представление рассматриваемого объекта позволяет решать задачи расчета напряженного и деформированного состояний тела, устойчивости и динамики, нахождения частот и амплитуд собственных и вынужденных колебаний. Кроме того, МКЭ можно с успехом использовать для решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности, расчета полей статического электричества и скоростей безвихревого течения жидкости, и т. д.

Практическое использование этого метода во многом зависит от уровня развития компьютерной техники и качества программного обеспечения, реализующего этот метод. Программное обеспечение для решения задач методом МКЭ должно включать в себя следующие элементы: редактор разбивки на конечные элементы, ядро, непосредственно обеспечивающее решение, и визуализатор для демонстрации полученных результатов.

Следует отметить, что МКЭ - это достаточно самостоятельный раздел механики сплошной среды, который динамично развивается и совершенствуется. Для подробного ознакомления с ним можно воспользоваться специальной литературой. Здесь же будут рассмотрены лишь физические основы этого метода на примере решения плоской задачи теории упругости - расчета напряженного состояния тонкой пластины произвольной формы. В качестве конечного элемента примем плоский элемент треугольной геометрической формы.

Рис. 3.3.2

Рассмотрим конечный элемент, координаты узлов которого равны x1 , y1 , x2 , y2 и x3 , y3 (рис. 3.3.2). После приложения внешней нагрузки тело деформируется, и каждая внутренняя точка этого элемента с

координатами x, y занимает новое положение, перемещаясь в направлении координатных осей x и y

соответственно на расстояния u(x, y) и v(x, y) , причем в пределах одного конечного элемента эти перемещения представляются в виде линейных функций координат:

 

 

u(x, y) = α1 +α2 x +α3 y

 

 

 

 

 

v(x, y) = α4 +α5 x +α6 y

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(3.3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, в матричной форме,

 

 

 

ur(x, y) =

[

L(x, y) αr

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(3.3.2)

 

 

 

 

 

 

]

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ur

u(x, y)

 

[L(x, y)]

 

1 x y 0 0 0

 

 

(x, y) =

 

 

=

 

 

 

 

 

 

v(x, y)

;

 

 

0 0 0 1 x y

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αr = [α1

α2

α3 α4

 

α5

α6 ].

 

 

 

Необходимо отметить, что задание перемещений в виде линейных функций (3.3.1) обеспечивает сшивку этих функций на границах соседних элементов. Действительно, линейность перемещений в узлах означает и их линейность везде вдоль границы элемента.

Подставляя в (3.3.2) координат узловых точек, получаем

 

u

 

1

x

 

y

 

 

0

0

0

α

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

1

x1

 

1

 

 

v1

0 0 0

 

y1 α2

 

u2

 

1 x2

y2

0

0

0

α3

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

1

x2

y2

 

 

 

v2

 

0 0 0

 

α4

 

 

 

 

 

x3

y3

0

0

0

 

 

 

u3

 

1

α5

 

 

v3

0 0 0

1 x3 y3 α6 ,

или

 

 

 

 

[

L(xy) αr

 

 

 

 

 

 

 

ur =

,

 

 

(3.3.3)

 

 

 

 

 

 

 

]

 

 

 

где

ur = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 ]T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В системе уравнений (3.3.3) в качестве неизвестных можно рассматривать постоянные коэффициентыαi .

Разрешая (3.3.3) относительноαi с помощью формул Крамера, имеем

 

 

 

u1

x1

y1

 

 

 

 

 

 

1 u1

y1

 

 

 

 

 

1

x1

u1

 

 

 

 

 

u2

x2

y2

 

 

 

 

 

 

1 u2

y2

 

 

 

 

 

1

x2

u2

 

 

α =

u3

x3

y3

 

 

α

 

=

 

1

u3

y3

 

α

 

=

 

1

x3

u3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

2

;

 

 

2

;

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

x1

y1

 

 

 

 

 

 

1 v1

y1

 

 

 

 

 

1

x1

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

x2

y2

 

 

 

 

 

 

1 v2

y2

 

 

 

 

 

1

x2

v2

 

 

 

α

 

=

 

v3

x3

y3

 

α

 

=

 

 

1

v3

y3

 

α

 

=

 

1

x3

v3

 

 

 

4

 

 

2

;

2

 

 

 

2

;

6

 

 

2

.

(3.3.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь - определитель матрицы системы, численно равный площади конечного элемента:

 

1

x1

y1

 

 

∆ =

1

x2

y2

 

 

 

1

x3

y3

 

.

 

 

 

Заметим, что тот же самый результат (3.3.4) получается и другим способом: поскольку определитель матрицы отличен отrнуля, то единственное решение системы (3.3.3) есть произведение обращенной матрицы

системы и вектора u .

Подстановка (3.3.4) в (3.3.3) приводит к выражению для определения поля перемещений произвольной точки данного конечного элемента:

ur( x, y) =

1

[(a1 +b1 x + c1 y)u1 +(a2 +b2 x + c2 y)u2 + (a3 +b3 x + c3 y)u3 ]

 

2

 

 

 

, (3.3.5)

где a1 = x2 y3 x3 y2 ; b1

= y2 y3 ;

c1 = x3 x2 ,

а остальные коэффициенты находятся путем циклической перестановки индексов 2 и 3. В матричной форме (3.3.5) переписывается как

ur

3

 

 

(x, y) = ψi (x, y)ui

 

 

 

i=1

.

(3.3.6)

Функция ψi , имеющая вид

называется функцией формы.

Компоненты вектора - столбца εr

(3.1.28),

ψ

 

=

1

(a

 

+b x + c y)

 

 

 

2

 

 

 

 

i

 

 

i

i

i

,

(3.3.7)

относительной деформации связаны с перемещениями соотношениями

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

x

 

 

 

v

 

 

 

 

 

ε =

εy

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

 

 

γxy

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, используя (3.3.6) и (3.3.7), можно написать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

εr(x, y) = [βi ] ur = [β] ur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

,

 

(3.3.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ψ

i

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[βi ]=

0

 

∂ψ i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ψ

i

∂ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

(i = 1,2,3)

 

[β]= {[β1 ][β2 ][β3 ]}

 

 

 

 

 

 

 

где

 

y

 

x

;

;

 

 

(3.3.7)

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u - вектор узловых перемещений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

b

0

b

0

b

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[β]=

 

 

 

0 c1

0 c2

0

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

b

c

b

c

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

2

3

3

 

(3.3.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемещения связаны с соответствующими напряжениями законом Гука, который для случая плоского

нагружения записывается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σr = [E]εr

 

 

 

 

(3.3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[E] =

 

 

 

µ

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 µ2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3.3.9) с учетом (3.3.6) принимает следующий вид

[

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σr =

ur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[E] β

 

 

 

 

 

(3.3.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся выражением для потенциальной энергии деформации элементарного объема (2.7.13).

Тогда эта энергия, с учетом (3.3.10), определится из очевидного уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

1

σrT εr V =

1

urT

[E] [β]T [β] urV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.3.11)

Выражение для объема в уравнении (3.3.11) представляет собой, в случае плоской задачи, произведение площади конечного элемента на его толщину.

Энергия деформации элемента объема может быть рассчитана иначе - как работа внешних сил. В качестве внешней нагрузки на элемент объема можно принять реакции приложенные к граням этого элемента, тогда

U =

1

urT [E] [β]T [β] urV =

1

urT Rr

 

2

2

(3.3.12)

 

 

 

Из уравнения (3.3.12) легко определить реакции, выполнив ряд очевидных сокращений, тогда

Rr = [K] ur,

(3.3.13)

где

 

[K] = [E] [β]T [β] urV

(3.3.14)

 

Уравнение (3.3.13) представляет собой обычное уравнение равновесия, а матрица [K]

является

квадратной матрицей размерностью 6 × 6 . Она называется матрицей жесткости конечного элемента. Элементы этой матрицы получаются решением матричного уравнения (3.3.14) и окончательный вид матрицы

жесткости приведен в таблице 1.

Глобальная матрица жесткости может быть найдена поэлементным суммированием матриц жесткости отдельных элементов и имеет размерность 2 N × 2 N , где N - общее количество узлов разбиения.

Левую часть уравнения равновесия (3.3.13) составляет вектор силовых факторов Rr , компоненты которого

в количестве 2N равны силам, действующим в узлах. Учет распределенной нагрузки производится равномерным ее распределением по узлам, расположенным на границе.

Расчет методом конечных элементов можно продемонстрировать на следующем примере. Пусть квадратная пластина размером 100 ×100 мм и толщиной 1мм, жестко защемленная одной из сторон,

нагружена консольно сосредоточенной силой F = 1000 Н. Следует определить напряженно - деформированное состояние этой пластины.

Для простоты эта пластина разбивается на два конечных треугольных конечных элемента, которым

присвоены номера 0 и 1. Такому варианту разбивки соответствуют четыре узловые точки (рис. 3.3.3). Конечному элементу 0 присвоены следующие обозначения узловых точек - 0, 3, 2; элементу 1 - 0, 1, 3.

Рис. 3.3.3

Введем глобальную систему координат x, y . Для выполнения расчета напряженно - деформированного состояния необходимо записать глобальную матрицу жесткости, для чего необходимо сформировать матрицы

жесткости составляющих ее конечных элементов. Для этого составим матрицы жесткости для каждого элемента и найдем суммарную матрицу. Глобальная матрица жесткости строится в глобальных индексах.

При составлении примем модуль Юнга E = 2 105

МПа, коэффициент Пуассона µ = 0,3 .

 

 

384615.

0

 

0

384615.

 

384615.

38461

 

 

 

 

0

109890

 

32967

0

 

32967

109890

 

 

 

 

 

 

0

32967

 

109890

0

 

109890

32967

 

K лок

 

 

 

0

384615.

0

 

0

384615.

 

384615.

384615.

 

384615.

32967

 

109890

384615.

 

148352

71428.6

 

384615.

109890

 

32967

384615.

 

71428.6

148352

 

 

 

 

 

 

 

Эта же матрица, записанная в глобальных индексах, имеет вид

 

 

 

 

384615.

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

384615.

384615.

 

 

0

 

384615.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

109890

 

 

 

0

 

0

 

 

32967

109890

 

32967

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

гл

=

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

0

 

384615.

32967

 

 

 

0

 

0

 

 

148352

71428.6

 

109890

 

384615.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

384615.

109890

 

 

 

0

 

0

 

 

71428.6

148352

 

 

 

32967

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

384615.

 

 

 

 

 

 

0

 

32967

 

 

 

0

 

0

 

 

109890

32967

 

 

 

109890

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

384615.

384615.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

384615.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

384615.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица жесткости второго треугольника в локальных индексах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109890

 

0

 

 

 

 

 

109890

 

32967

 

 

 

 

0

32967

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

384615.

 

384615.

 

384615.

 

384615.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K лок

= 109890 384615.

 

148352

 

71428.6

 

384615.

 

32967

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

32967

384615.

 

71428.6

 

148352

 

 

384615.

109890

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

384615.

 

384615.

 

384615.

 

 

384615.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

32967

 

0

 

 

 

 

 

 

32967

 

109890

 

 

 

 

0

 

109890

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица жесткости второго треугольника в глобальных индексах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109890

 

0

 

 

 

 

 

109890

32967

 

0

0

 

 

0

 

32967

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

38461.5

 

38461.5

38461.5

 

0

0

 

38461.5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38461.5

 

148352

71428.6

 

0

0

 

38461.5

 

32967

 

 

 

 

 

 

109890

 

 

 

 

 

 

 

 

K

‹‘

=

 

32967

 

38461.5

 

 

 

71428.6

148352

 

0

0

 

38461.5

 

109890

1

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

0 0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

0

0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

38461.5

 

 

 

38461.5

38461.5

 

0

0

 

38461.5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

32967

 

0

 

 

 

32967

109890

 

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109890

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательная глобальная матрица жесткости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148351.6

 

0

 

109890

 

32967

 

 

384615.

384615.

 

 

0

 

71428.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

148351.6

 

384615.

 

 

384615.

 

32967

 

109890

 

 

71428.6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109890

384615.

 

148351.6

 

71428.6

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

384615.

32967

 

 

 

гл

 

 

 

 

32967

384615.

 

71428.6

 

148351.6

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

384615.

 

 

 

 

K

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109890

 

 

384615.

32967

 

 

0

 

 

0

 

 

148351.6

 

71428.6

 

 

109890

384615.

 

 

 

 

 

 

384615.

109890

 

 

0

 

 

0

 

 

71428.6

148351.6

 

 

32967

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

384615.

 

 

 

 

 

0

71428.6

 

384615.

 

384615.

 

109890.1

32967

 

 

148351.6

0

 

 

 

 

 

71428.6

 

0

 

32967

 

 

109890

 

384615.

 

384615.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148351.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глобальная матрица получилась суммированием матриц для каждого элемента, в нашем случае

K гл = K гл + K

гл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим вектор внешних нагрузок, приложенных к узлам

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

F =

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

 

,

т.к. сила приложена к узлу с индексом 3. Далее необходимо учесть закрепление левой стороны пластины. Это означает, что перемещения точек с индексами 1 и 2 равны нулю, поэтому перемещения, соответствующие этим узлам следует исключить из системы.

Решив систему линейных уравнений (3.3.13), получим вектор узловых перемещений

 

u0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

v0

 

 

 

 

 

u

 

 

0.0024

 

 

1

 

 

 

 

 

u =

v1

 

=

 

0.0146

u2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

v2

 

 

 

 

 

u

3

 

 

 

0.0032

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

3

 

 

0.0170

 

 

 

 

 

 

.

Узловые перемещения связаны с деформациями конечного элемента через матрицу деформаций

ε = [β] ur . Отсюда находятся деформации элементов:

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

3.15 10

 

 

 

2.42 10

5

 

 

ε

0 =

0

 

 

 

ε1 = − 2.42

10

 

 

 

 

0.0017

 

 

9.00

105

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее находим для каждого элемента напряжения. Напряжения связаны с деформациями законом Гука (3.3.9). Подставляя полученные деформации, получим искомые напряжения

 

6.92

 

 

 

6.92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ0 =

2.08

 

 

σ1 =

6.92

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

6 10

 

;

3 10

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Метод конечных разностей. Вводные замечания. Идея метода конечных разностей, или, как его еще называют, метода сеток, состоит в замене основных дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи уравнениями в конечных разностях. При этом задача сводится к решению системы алгебраических, а не дифференциальных, уравнений.

Для реализации этой идеи на область рассматриваемого тела - ось стержня или балки, площадь пластины,

поверхность оболочки и т. д. - наносится сетка линий, точки пересечений которых называются узлами. В случае стержня или балки сетка будет одномерной, и узлы располагаются на оси этих элементов. Неизвестными считаются значения разыскиваемых функций (относительно которых справедливы дифференциальные уравнения механики деформируемого твердого тела (3.1.5), (3.1.11) или (3.1.12), а также (3.1.13) или (3.1.20)) в узлах сетки. Производные, входящие в эти дифференциальные уравнения, аппроксимируются приближенными алгебраическими формулами, которые называются конечно-разностными. В конечно-разностных формулах производные функций выражаются через узловые ординаты этих функций (конечно-разностные операторы производных). Конечно-разностные операторы затем подставляются в дифференциальное уравнение, которое должно выполняться в каждом узле сетки. Граничные условия, содержащие производные, также формулируются в терминах конечно-разностных операторов. В итоге замена производных конечно-разностными операторами приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых ординат искомых функций, решение которых позволяет определить числовые поля искомых функций: распределение напряжений в теле и изменения его размеров и формы. Разумеется, решение подобных систем возможно только с помощью вычислительной техники.

Рассмотрим построение конечно-разностных операторов для производных на примере непрерывной

одномерной функции f = f (x) (рис. 3.3.4a). Участок [ab], на котором ищется решение, разобьем на n

равных интервалов (в общем случае разбиение может быть и неравномерным). Расстояние x = h между двумя соседними узлами называется шагом сетки.

Как известно, если функция f непрерывна вместе со своими производными на некотором интервале

[x0 , x0 + h], то эта функция в точке x = x0 + h может быть разложена в ряд Тейлора:

 

f (x0 + h)= f (x0 )+ f (x0 )h +

1

 

f ′′(x0 )h2 +L.

 

2!

(3.3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим три соседних узла с номерами

i 1, i, i +1

. Положим

x0

= xi

и применим разложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.15) к узлам i +1 и i 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi+1 =

h

 

1

 

′′

2

 

1

 

 

 

 

′′′

3

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+L;

 

fi + fi

2!

fi h

 

3!

fi h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

fi1 =

h

 

 

′′

2

 

 

 

fi

′′′

3

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+L;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi fi

2!

fi h

 

3!

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.3.4

 

 

 

 

 

 

Количество членов ряда (3.3.16) зависит от степени точности, с которой вычисляются приближенные значения производных. Так, если ограничиться тремя членами, то это будет соответствовать замене истинной

кривой f (x) квадратной параболой, проведенной через ординаты fi1 , fi и fi+1 . При удержании в формуле

Тейлора большего числа членов можно получить более точные выражения для производных. Однако здесь следует придерживаться разумного подхода: чем большее число членов содержит ряд (3.3.16), тем более громоздкие выражения получаются для конечно-разностных операторов производных, и в конечном итоге можно получить весьма небольшой выигрыш в точности при значительном увеличении времени вычислений.

Итак, ограничимся тремя первыми членами ряда (3.3.16). Тогда, последовательно вычитая и складывая строки (3.3.16), находим первую и вторую производные функции f (x) в i -ой точке,

fi′=

fi1 + fi+1

 

fi′′=

fi1 2 fi + fi+1

 

 

2h

;

h2

.

(3.3.17)

 

 

Первая из формул (3.3.17) наглядно выражает суть сделанных приближений: первая производная fi

вычисляется как отношение разности соседних ординат к отрезку 2h , т. е. тангенс угла наклона касательной в i -ой точке приближенно заменяется тангенсом угла наклона секущей (рис. 3.3.4b).

Третью производную

fi′′′ можно вычислить двумя способами: как первую производную от второй

 

′′′

 

d

(f

′′

)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′′

d 2

(f

)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi

=

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi =

dx2

 

 

 

 

производной,

 

 

 

, или вторую производную от первой,

 

 

 

. Например, согласно

 

первому способу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi

′′′

d

(f

′′

)i

=

fi1 + fi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

или, с учетом (3.3.17),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi

′′′

 

(fi2

2 fi1 + fi

)+ (fi

2 fi+1

+ fi+2 )

=

fi2 + 2 fi1

2 fi+1

+ fi+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

2h h2

 

 

 

 

 

 

 

 

2h3

.

(3.3.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точно такой же результат (3.3.18) получается и при использовании второго способа вычисления fi′′′. Аналогично получается оператор для четвертой производной

fi IV =

fi2 4 fi1 + 6 fi 4 fi+1 + fi+2

 

 

h4

.

(3.3.19)

 

Операторы (3.3.17) - (3.3.19) симметричны относительно их центра, поэтому соответствующие им формулы называются центральными конечными разностями. Можно также получить соотношения, выражающие

производную в i -ой точке только через правые или только через левые ординаты, однако в дальнейшем будем пользоваться центральными разностями.

Применения МКР к решению плоской задачи теории упругости. Основные уравнения плоской задачи теории упругости, выраженные через введенную в главе 3.1 функцию напряжения, имеют вид:

бигармоническое уравнение (3.1.35)

 

 

 

 

 

 

4ϕ

 

 

+ 2

 

 

4ϕ

 

 

 

+

 

4ϕ

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

x4

x2

y 2

 

y 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(3.3.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы для вычисления напряжений (3.1.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σx

=

2ϕ

 

σ y

=

2ϕ

 

 

τ

= −

 

 

2ϕ

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

.

 

 

y2

x2

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(3.3.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

граничные условия (3.1.38)

 

2ϕ

2ϕ

 

 

 

 

 

2 l

 

 

m = px ;

 

 

y

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

2ϕ

 

2ϕ m = p

 

 

l +

.

 

 

 

 

xy

y

2

 

y

 

 

 

 

.

(3.3.22)

В случае плоской задачи теории упругости функция напряжений ϕ =ϕ(x, y) зависит от двух переменных, а потому через конечные разности нужно выразить частные производные.

Исследуемую плоскую область разбиваем сеткой на ячейки с размерами x, y . Если сетка квадратная,

то x = ∆y = h .

На рис. 3.3.5 показана сетка из 13 -ти пронумерованных точек. На основании (3.3.17) и с учетом нумерации

точек сетки для точки 0 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ϕ

 

ϕ

3

2ϕ

0

+ϕ

1

 

 

2ϕ

 

ϕ

4

2ϕ

0

+ϕ

2

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

h

 

 

 

 

y

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.3.23)

Складывая равенства (3.3.23), получим конечно-разностную формулу для гармонического оператора Лапласа в точке 0 :

2

 

2ϕ 2ϕ

 

ϕ1 +ϕ2 +ϕ3 +ϕ4 4ϕ0

 

 

( ϕ)0

 

 

2 +

 

2

 

=

 

2

 

 

=

x

y

 

h

 

 

 

 

 

 

0

 

 

.

(3.3.24)

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.3.5

 

 

 

Бигармонический оператор с учетом (3.3.24) можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

( 2 2ϕ)

= ( 2 χϕ)

=

χ1 + χ2 + χ3 + χ4 4χ0

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

,

 

где

χ i = ( 2ϕ)i

,

i =1,2,3,4,0.

Последовательно применив к этим точкам гармонический оператор (3.3.24),

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ϕ = ( 2 2ϕ)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

20ϕ0 (ϕ1 +ϕ2 +ϕ3 +ϕ4 )+ 2(ϕ6 +ϕ8 +ϕ10 +ϕ12 )+ϕ5 +ϕ7 +ϕ9 +ϕ11

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h4

(3.3.25)